Maria Toñita

EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES

Llamaremos expresiones algebraicas racionales a las de la forma donde A(x) y B(x) son polinomios de variable x , y B(x)  0.

Por ejemplo, es una expresión algebraica racional porque el numerador A(x) = 7 es un polinomio y el denominador B(x) = x  2 también es un polinomio.

También es una expresión algebraica racional .

¿Es una expresión algebraica racional?..............................................................................

La expresión x 2  9 es también racional porque x 2  9 es un polinomio y 1, su denominador, también lo es.

Simplificación de expresiones racionales

Recordamos que, dado el racional podemos hallar otros equivalentes con él: donde .

Análogamente para la expresión racional pueden hallarse expresiones racionales equivalentes: siendo N(x) cualquier polinomio no nulo.

En Z muchas veces se nos presenta el problema de encontrar la fracción equivalente más simple que una dada. Por ejemplo,

También es posible simplificar expresiones algebraicas racionales cuando existen factores comunes al numerador y al denominador, de lo contrario la expresión racional es irreducible.

Consideremos . Factorizamos su numerador y su denominador:

Entonces si x  1 y x  1

Las dos expresiones racionales, y son equivalentes para x  1 y x  1.

La expresión final es equivalente a la dada para todo valor de x que no anule el factor cancelado porque ello equivaldría a dividir por cero.

Veamos otros ejemplos:

I)

II) ¿Por qué esta igualdad es válida para cualquier número real? .......................................................................................................

Actividad:

Simplificar, indicando para qué valores de x la expresión resultante es equivalente a la dada.

a) b) c) d)

Operaciones con Expresiones Algebraicas Racionales

Para operar con expresiones racionales, aplicamos las mismas propiedades y técnicas que para operar con fracciones numéricas.

Adición y Sustracción

Recordamos que para sumar necesitamos hallar fracciones equivalentes a los sumandos, de igual denominador: .

Para sumar (o restar) expresiones racionales de distinto denominador, debemos sumar (o restar) expresiones equivalentes a ellas que tengan el mismo denominador. Para hallarlo, factorizamos los denominadores y luego multiplicamos los factores comunes y no comunes con el mayor exponente con el que figura (mínimo común múltiplo).

Veamos el siguiente ejemplo:

Factorizamos los denominadores:

Buscamos expresiones equivalentes

con igual denominador:

Operamos en el numerador y sumamos:

El numerador no tiene raíces reales, por lo tanto la expresión obtenida es irreducible.

Vamos a calcular

Factorizamos los denominadores:

Elegimos un denominador común y hallamos las expresiones equivalentes:

Aplicamos propiedades y restamos:

La suma de expresiones algebraicas racionales es asociativa, conmutativa, cumple la ley de cierre y posee elemento neutro: 0. Recordemos que restar es sumar el opuesto.

Actividad:

Calcular:

a) b)

c)

Multiplicación

Para multiplicar dos expresiones racionales , procedemos así:

Por ejemplo:

I)

II) Calculamos ahora

Factorizamos cada uno de los polinomios:

Simplificamos y obtenemos el resultado: .

La multiplicación de expresiones algebraicas racionales cumple con la ley de cierre, es asociativa, conmutativa, tiene elemento neutro (1) y es distributiva respecto de la suma y la resta.

¿Existe inverso multiplicativo para toda expresión ? ...........................................................................................................................

Actividad:

Resolver: a) b)

División

Se llama inverso multiplicativo de una expresión algebraica racional a la expresión , si A es no nulo.

Para dividir dos expresiones algebraicas racionales y operamos igual que en el conjunto Q: con C(x)  0

Por ejemplo:

Actividad:

1) Con las expresiones calcular:

a) P(x) . T(x) b) P(x) : T(x) c) T(x) : P(x).

2) Resolver: a) b)

c)

Actividad:

Efectuar los siguientes ejercicios combinados:

a) b)

c) d)

TRABAJO PRÁCTICO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES

Realizar las siguientes operaciones, simplificando los resultados cuando sea posible:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

...