Ángulo Y POLÍGONO

Ángulos

Porción de plano determinada por dos rayos con origen común y no colineales. El punto de intersección se conoce como vértice del ángulo.

[pic 2]

 [pic 3] y [pic 4]= Rayos

 O = Vértice

 [pic 5][pic 6] Se lee “medida del ángulo AOB”

Unidades de medición de los ángulos

Las unidades comunes para medir los ángulos son: el grado sexagesimal, centesimales y el radián.

• El grado sexagesimal (S): Unidad de medida cuyo símbolo es º.  Hay 360º en una vuelta completa; es decir:

1 vuelta = 360º [pic 7]

• El Grado centesimal (C): Unidad de medida cuyo símbolo es g. Hay 400g en una vuelta completa; es decir:

1 vuelta = 400g 

• El radián (R): Un radián es un ángulo cuya medida es igual a la de un arco de longitud r (radio) de la circunferencia que lo contiene. Por consiguiente hay 2π radianes en una vuelta completa; es decir:

1 vuelta = 2[pic 8] rad

Por lo tanto, una fórmula que relaciona a los tres sistemas de medidas es:

[pic 9]

Los ángulos se pueden dividir en diferentes tipos tomando como base los grados que tienen.

Clasificación de los ángulos

1. Por su medida:

Según su medida, un ángulo puede ser:

1. Ángulo recto: Es aquel ángulo cuya medida es 90º.

1. Ángulo obtuso: Es aquel ángulo cuya medida es mayor que 90º pero menor que 180º.
2. Ángulo agudo: Es aquel ángulo cuya medida es menor que 90º pero mayor que 0º.

1. Ángulo llano: Es aquel ángulo cuya medida es 180º.

[pic 10]

1. Por su posición:                

Dos ángulos adyacentes tienen el mismo vértice, un lado común y los otros en regiones distintas a dicho lado común.

Tres o más ángulos son consecutivos si cada uno es adyacente con su inmediato.

Dos ángulos opuestos por el vértice tienen sus lados que son pares de rayos opuestos. Se demuestra que miden igual.

[pic 11]

1. Por su relación:

1. Ángulos  complementarios: Dos ángulos son complementarios si sus medidas suman 90º.

1. Ángulos  son suplementarios: Dos ángulos son suplementarios si sus medidas suman 180º.

La Bisectriz.

Es aquel rayo que divide al ángulo en dos ángulos congruentes. Se dice que la bisectriz biseca al ángulo.

En la figura [pic 12] biseca el ángulo m∡AOB. m∡AOM = m∡MOB = m[pic 13][pic 14] 

[pic 15]

Ángulos determinados por dos rectas paralelas y una secante a ellas

Si  las rectas L y F son paralelas y P es una secante a ellas, tendremos las relaciones entre pares de ángulos:

1. Ángulos alternos: Ubicados a uno y al otro lado de la secante, en su intersección con cada paralela; tienen igual medida. Pueden ser:

• Alternos internos: c = f; d = e
• Alternos externos: a = g; b = h

1. Ángulos correspondientes: Los que tienen sus lados dirigidos en un mismo sentido. Miden igual:

a = e; b = f; c = h; d = g

1. Ángulos conjugados: Ubicados a un mismo lado de la recta secante y en su intersección con cada paralela. Son suplementarios.

• Conjugados internos:  c + e = 180º;      d + f = 180º
• Conjugados externos:  a + h= 180º;      b + g = 180º

[pic 16]

Propiedades auxiliares:

1. Para ángulos consecutivos como los de la figura:

[pic 17]

[pic 18]

1. Si M y L son dos rectas paralelas, entonces:

[pic 19]

[pic 20][pic 21][pic 22][pic 23]

POLÍGONOS

Un polígono es una figura plana y cerrada formada por tres o más segmentos de línea unidos en sus extremos. Estas figuras pueden dividirse en dos grupos:

• Polígonos regulares: Son aquellos que tienen todos sus lados y ángulos congruentes. Además, todo polígono regular está inscrito en una circunferencia.

Por ejemplo:

[pic 24]

• Polígono irregular: Son aquellos que no tienen todos sus lados y ángulos iguales.

Ejemplo:

[pic 25]

TRIÁNGULO

Es un polígono cerrado que consta de tres lados y tres ángulos.

                                      [pic 26][pic 27][pic 28][pic 29][pic 30][pic 31]

Los triángulos se clasifican:

Por sus lados:

1. Escaleno: Tiene sus tres lados diferentes y sus tres ángulos interiores no son congruentes.
2. Isósceles: Tiene dos lados congruentes y los ángulos opuestos a estos lados también son congruentes.
3. Equilátero: Tiene sus tres lados congruentes y tres ángulos miden 60º.

[pic 32]

Por sus ángulos:

1. Acutángulo: Tiene sus tres ángulos agudos.

1. Obtusángulo: Tiene un ángulo obtuso y dos ángulos agudos. El lado opuesto al ángulo obtuso es de mayor longitud.

1. Rectángulo: Tiene un ángulo recto y dos ángulos agudos. El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos.

Para calcular cuánto mide la hipotenusa se aplica el Teorema de Pitágoras.

Ejemplo:

Dado un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 5 y 4 unidades de longitud. Halle la longitud de la hipotenusa.

Solución

Por el teorema de Pitágoras se obtiene:

[pic 35] [pic 36]        [pic 37] [pic 38] [pic 39]

Algunos triángulos rectángulos notables

Se denomina así a aquellos triángulos en los que son conocidas las medidas de los ángulos agudos y las relaciones entre las longitudes de los lados.

[pic 40]

Propiedades básicas

1. La medida de los ángulos interiores suman 180º.

[pic 41]

1. Cada ángulo exterior mide igual a la suma de los dos interiores no adyacentes a dicho ángulo.

[pic 42]

CUADRILÁTEROS

Es un polígono cerrado que tiene cuatro lados y cuatro ángulos.

Los cuadriláteros pueden ser cóncavos o convexos.

[pic 43][pic 44][pic 45][pic 46][pic 47]

CLASIFICACIÓN DE LOS  CUADRILÁTEROS CONVEXOS

1. TRAPECIO

Es un polígono de cuatro lados, dos de ellos paralelos pero de tamaños distintos.

        [pic 48]

[pic 49]

[pic 50]

CLASES DE TRAPECIO

1. PARALELOGRAMO

Es un polígono cerrado de cuatro lados; sus lados paralelos son congruentes.

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