Actividad ejercicio de interpolación

MARTÍNEZ GARCÍA MOISÉS        GRUPO 1302        19/12/2020 COMPUTACIÓN Y MÉTODOS NUMÉRICOS

Actividad ejercicio de interpolación

[pic 1]

a)

x        y        ∆𝒚        ∆𝟐𝒚        ∆𝟑𝒚

[pic 2]-5        0

-2        15        15

1        18        3

4        15        -3

7        12        -3

10        15        3

13        30        15

16        63        33

-12

6

-6

6

0

6

6

6

12

6

18

Procedimiento

• Primeras diferencias divididas

𝟏. − ∆𝒚 = 𝟏𝟓 − 𝟎 = 𝟏𝟓

𝟐. − ∆𝒚 = 𝟏𝟖 − 𝟏𝟓 = 𝟑

𝟑. − ∆𝒚 = 𝟏𝟓 − 𝟏𝟖 = −𝟑

𝟒. − ∆𝒚 = 𝟏𝟐 − 𝟏𝟓 = −𝟑

𝟓. − ∆𝒚 = 𝟏𝟓 − 𝟏𝟐 = 𝟑

𝟔. − ∆𝒚 = 𝟑𝟎 − 𝟏𝟓 = 𝟏𝟓

𝟕. − ∆𝒚 = 𝟔𝟑 − 𝟑𝟎 = 𝟑𝟑

• Segundas diferencias divididas

𝟏. −∆𝟐𝒚 = 𝟑 − 𝟏𝟓 = −𝟏𝟐

𝟐. −∆𝟐𝒚 = −𝟑 − 𝟑 = −𝟔

𝟑. −∆𝟐𝒚 = −𝟑 − (−𝟑) = 𝟎

𝟒. −∆𝟐𝒚 = 𝟑 − (−𝟑) = 𝟔

𝟓. −∆𝟐𝒚 = 𝟏𝟓 − 𝟑 = 𝟏𝟐

𝟔. −∆𝟐𝒚 = 𝟑𝟑 − 𝟏𝟓 = 𝟏𝟖

• Terceras diferencias divididas

𝟏. −∆𝟑= −𝟔 − (−𝟏𝟐) = 𝟔

𝟐. −∆𝟑= 𝟎 − (−𝟔) = 𝟔

𝟑. −∆𝟑= 𝟔 − 𝟎 = 𝟔

𝟒. −∆𝟑= 𝟏𝟐 − 𝟔 = 𝟔

𝟓. −∆𝟑= 𝟏𝟖 − 𝟏𝟐 = 𝟔

 ∴ Es un 𝒑𝒐𝒍𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐 3

1. Interpolación de Newton

Encontrar el valor de 𝑦 para 𝑥 = −3.5, 𝑥 = 5 y 𝑥 = 11.4

[pic 3]

Para x=-3.5

Aplicando la fórmula de interpolación de Newton se obtiene:

𝑥𝑘 = −3.5        𝑥0 = −5        h=3        k=0.5

𝑦        = 0 + (0.5)(15) + (0.5)(0.5−1) (−12) + (0.5)(0.5−1)(0.5−2) (6) =9.375[pic 4]

[pic 5]        [pic 6]

0.5

2!        3!

Para x=5

Aplicando la fórmula de interpolación de Newton se obtiene:

𝑥𝑘

= 5        𝑥0

= 4        h=3        𝑘 = 1

3[pic 7]

1     1        1     1        1[pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13]

𝑦1 = 15 +

[pic 14]

1 (−3) + (3)(3−1) (6) + (3)(3−1)(3−2) (6) =13.703

[pic 15]        [pic 16]        [pic 17]

( )

3        3        2!        3!

Para x=11.4

Aplicando la fórmula de interpolación de Newton se obtiene:

𝑥𝑘

= 11.4        𝑥0

= 10        h=3        𝑘  = 7

15[pic 18]

7        ( 7 )( 7[pic 19]

[pic 20]

−1)

( 7 )( 7

[pic 21]

−1)( 7

−2)[pic 22]

𝑦 7    = 15 + (        ) (15) +  15   15        (18) +  15   15        15        (6) =20.141[pic 23][pic 24][pic 25][pic 26]

15        15        2!        3!

Todas las operaciones fueron realizadas en una calculadora

1. Interpolación de Lagrange

[pic 27]

Para x=-3.5

𝑦 =

(−3.5 − (−2))(−3.5 − 1)(−3.5 − 4)(−3.5 − 7)(−3.5 − 10)(−3.5 − 13)(−3.5 − 16)

[pic 28]

(−5 − (−2))(−5 − 1)(−5 − 4)(−5 − 7)(−5 − 10)(−5 − 13)(−5 − 16)

(0) + ⋯

(−3.5 − (−5))(−3.5 − 1)(−3.5 − 4)(−3.5 − 7)(−3.5 − 10)(−3.5 − 13)(−3.5 − 16)

[pic 29]

(−2 − (−5))(−2 − 1)(−2 − 4)(−2 − 7)(−2 − 10)(−2 − 13)(−2 − 16)

(15) + ⋯

(−3.5 − (−5))(−3.5 − (−2))(−3.5 − 4)(−3.5 − 7)(−3.5 − 10)(−3.5 − 13)(−3.5 − 16)

[pic 30]

(1 − (−5))(1 − (−2))(1 − 4)(1 − 7)(1 − 10)(1 − 13)(1 − 16)

...