Algebra Lineal

INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE CALKINI

Nombre de la asignatura: Algebra Lineal

Carrera: Ingeniería en Sistemas Computacionales

Clave: ACF-0903

Hrs. teoría - Hrs. práctica - Créditos: 3 - 2 - 5

EN EL ESTADO DE CAMPECHE

TEMARIO

U N I D A D 1

RAMIRO JOSE GONZALEZ HORTA

A r q u i t e c t o

U N I D A D 1

Números Complejos.

1.1 Definición y origen de los números complejos.

1.2 Operaciones fundamentales con números complejos.

1.3 Potencias de “i”, módulo o valor absoluto de un número complejo.

1.4 Forma polar y exponencial de un número complejo.

1.5 Teorema de De Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejo.

1.6 Ecuaciones polinómicas.

Arq. Ramiro González Horta. Febrero 2011

U N I D A D 1

Números Complejos.

1.1 Definición y origen de los números complejos.

Origen de los Números Complejos.

Desde Al'Khwarizmi (800 DC), quien fuera precursor del Álgebra, sólo se obtenían las soluciones de las raíces cuadradas de números positivos. La primera referencia conocida relacionada con raíces cuadradas de números negativos proviene del trabajo de los matemáticos griegos (entre ellos Herón de Alejandría en el siglo Ι antes de Cristo), ella surge como resultado de una imposible sección de una pirámide.

Los números complejos se hicieron más populares en el siglo XVI, cuando se buscaba hallar las fórmulas que dieran las raíces exactas de los polinomios de segundo y tercer grado por matemáticos italianos como Tartaglia o Cardano y aunque sólo estaban interesados en las raíces reales, se encontraron con la necesidad de manejar raíces de números negativos.

Girolamo Cardano (1501-1576) menciona por primera vez en su libro Ars Magna (1545) la necesidad de definir y utilizar números que respondan a la forma a con a<0. En el libro aparece el siguiente problema: “dado un segmento de 10 unidades, dividirlo en dos partes de manera tal, que el área del rectángulo que se obtenga con esas dos partes sea de 40 unidades cuadradas”.

La solución debía ser fácil. Si una parte es “x” la otra parte es “y = x-10”, tal que x.y = 40. Reemplazando: x.(10-x) = 40, operando x2 –10 x + 40 = 0.

Al resolver la ecuación queda x1,2= 5 ± −15 . A tales soluciones el filósofo y matemático alemán Descartes (1596-1650) las llamó imposibles o imaginarios, y en 1637 dedujo que las soluciones no reales de las ecuaciones, son números de la forma a+bi, con a y b reales.

Fue Karl F. Gauss (1777-1855) físico, matemático y astrónomo alemán quien usó los números complejos en forma realmente confiable y científica. En 1799 demostró que las soluciones de cualquier ecuación algebraica de cualquier grado, pertenecen a un conjunto de números que él llamo complejos, y que este conjunto estaba formado por un número ordinario (número real) más un múltiplo de la raíz cuadrada de –1, llamado unidad imaginaria.

La implementación más formal, con pares de número números reales fue dada en el Siglo XIX.

NÚMEROS COMPLEJOS

Definición 1:

Un número complejo es un par ordenado de números reales.

De acuerdo a la definición, la expresión analítica del conjunto de los números

complejos es: C ={(a; b) / a∈R ∧ b∈R }

Representación gráfica de un número complejo.

Para graficar un complejo en el plano real, se tiene en cuenta que el eje de abscisas recibe el nombre de eje real (Re) y el eje de ordenadas, eje imaginario (Im).

La representación gráfica de un número complejo presenta dos posibilidades no excluyentes:

Por el punto afijo: de la definición 1 se deduce que, cada complejo se representa en el plano real como un único punto y a su vez cada punto del plano real representa a un único número complejo. Por lo tanto, existe una relación biunívoca entre el conjunto de los números complejos y el conjunto de los puntos del plano real. Este punto se denomina afijo.

Por el vector posición: se puede representar a un número complejo mediante un vector que tiene su origen en el origen de coordenadas y su extremo en el afijo. Este vector se denomina vector posición.

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