Algebra - Polinomios - Numeros complejos

2.1.- Los  números  complejos. Operaciones.

Un número complejo viene dado por dos números  reales o, si se quiere por un punto o

un vector del plano. M´as importante  que la definici

n en s´ı de los nu´meros complejos, son

las operaciones que hay definidas sobre ellos y las propiedades  de dichas operaciones. Sobre los nu´meros complejos definiremos las operaciones suma y producto. Desde el punto de vista de la operaci´on  suma,  los nu´meros  complejos pueden  ser tratados como vectores  reales de

dos coordenadas.  La operaci

n producto  tendra´,  en los aspectos  aritm´eticos,  propiedades

similares a las del producto de nu´meros reales. Dentro de los nu´meros complejos tendremos a los nu´meros reales. Cuando  estemos considerando  nu´meros complejos, no tendra´ sentido trabajar con desigualdades a menos que previamente hayamos impuesto que los t´erminos de dichas desigualdades  sean nu´meros reales.

2.1.1.- Forma bin´omica.  Operaciones y propiedades.

Definici´on. Un nu´mero complejo es un nu´mero de la forma z = a + bi (o z = a + ib) donde

i verifica que i2  = −1 y a y b son nu´meros  reales. A i se le llama unidad  imaginaria. Los

nu´meros reales a y b se conocen, respectivamente,  como parte  real y parte  imaginaria    del

nu´mero complejo z y se suele escribir

Re(z) = a,     Im(z) = b.

Esta expresi´on que acabamos de describir de los nu´meros complejos (m´as adelante veremos otra) se denomina forma bin´omica del nu´mero.

Dos nu´meros complejos z y w son iguales si, y s´olo si,

Re (z) = Re (w)    y    Im (z) = Im (w) .

Al conjunto de los nu´meros complejos lo denotaremos por C, es decir,

C = {z = a + bi : a, b ∈ R} .

Sea z = a + bi. Si b = 0 escribiremos simplemente z = a. Si a = 0 escribiremos z = bi. En este u´ltimo caso diremos que z es un nu´mero imaginario puro. En lo que sigue identifi- caremos el nu´mero real a con el nu´mero complejo a + 0i. De esta forma se puede entender que el conjunto de los nu´meros reales es un subconjunto del de los nu´meros complejos.

Un nu´mero  complejo z = a + bi  lo podemos representar  por el punto P  del plano que tiene por coordenadas  cartesianas (a, b). A veces tambi´en lo respresentaremos por el vector de posici´on O~P del punto P . Interpretado de esta manera, al plano cartesiano se le denomina tambi´en plano complejo. El eje de abscisas tambi´en se suele denominar  eje  real y el eje

de ordenadas  eje  imaginario.

Definici´on.  Suma y  Producto.  Dados dos nu´meros  complejos z = a + bi  y w = c + di

definimos la suma z + w y el producto zw mediante:

z + w = (a + c) + (b + d) i, zw = (ac − bd) + (ad + bc) i.

La  suma  y la  diferencia  de  dos  nu´meros complejos  se puede  interpretar en  el plano complejo de la misma forma que la suma y diferencia de vectores:

w w[pic 7][pic 8][pic 9]

z                                                            z[pic 10][pic 11][pic 12]

El producto de nu´meros complejos no tiene una interpretaci

n directa en t´erminos de los

vectores asociados (no es el producto escalar de dos vectores, que es un nu´mero real). M´as

adelante daremos una interpretaci

n geom´etrica del producto de dos nu´meros complejos.

En lo que se refiere a las propiedades  de la suma y el producto, de forma gen´erica puede decirse que se verifican las mismas propiedades  algebraicas que se conocen para la suma y el producto de nu´meros reales. Al considerar  propiedades  algebraicas se est´an excluyendo las propiedades  de la suma y producto de nu´meros reales en las que aparecen  desigualdades.

Propiedades. Sean z, w, v ∈ C.

(1)  Conmutativas: z + w = w + z y zw = wz.

(2)  Asociativas: (z + w) + v = z + (w + v) y (zw) v = z (wv).

(3a) Existe  un elemento  nulo para  la suma, el 0 = 0 + 0i tal que z + 0 = 0 + z = z para todo z ∈ C.

(3b) Existe un elemento unidad  para el producto, el 1 = 1 + 0i, tal que z1 = 1z = z, para todo z ∈ C.

(4a) Cada  nu´mero complejo z = a + bi tiene un elemento opuesto , −z = −a + (−b) i, tal que z + (−z) = 0.

(4b) Cada nu´mero complejo z = a + bi = 0 tiene un elemento inverso z−1  tal que

zz−1  = z−1 z = 1.

De hecho, si z = a + bi = 0 se tiene que z−1  =     a[pic 13]

a2  + b2

b[pic 14]

a2  + b2 i.[pic 15]

(5)  Distributiva (del producto respecto a la suma) z (w + v) = zw + zv.

Como es habitual, para  los nu´meros reales, el inverso z−1  de z = 0 y un producto wz−1

1 los representaremos por     y[pic 16][pic 17]

z

w

, respectivamente.

z

La parte real y la parte imaginaria en una divisi´on de nu´meros complejos puede obtenerse de la siguiente forma. Si z = a + bi = 0 y w = c + di

w      c + di

=[pic 18][pic 19]

z      a + bi

= (c + di) (a + bi)−1  = (c + di)  

a

a2  + b2[pic 20]

b      

a2  + b2 i    =[pic 21][pic 22]

(c + di) (a − bi)

a2  + b2             .[pic 23]

No obstante, tras estudiar la conjugaci´on y el mo´dulo veremos otra forma ma´s eficiente para calcular el inverso de un nu´mero complejo o dividir nu´meros complejos.

Observaci´on. No es posible establecer en el conjunto de los nu´meros complejos una relaci  n[pic 24]

de orden que verifique las mismas propiedades que verifica la relaci entre los nu´meros reales.

n de orden que conocemos

Definici´on.  Conjugado. Sea z = a + bi un nu´mero complejo. Se define el conjugado de z, y se representa por z, como el nu´mero complejo z = a − bi.[pic 25][pic 26]

Geom´etricamente, si el nu´mero complejo z = a + bi

se representa por el punto P = (a, b), su conjugado[pic 27]

′

z = a − bi se representa por el punto P[pic 28]

= (x, −y)

z[pic 29][pic 30]

Propiedades del  conjugado. (1)  z = z[pic 31][pic 32]

(2)  z1 + z2  = z1 + z2.[pic 33][pic 34]

(3)  z1 z2  = z1  z2 .[pic 35][pic 36][pic 37]

...