Algebra.

INDICE

Transformación

Lineal………………………………………………………………………… 3

Rotación……………………………………………………………………. 7

Traslación…………………………………………………………………. 14

Vectores

Producto Escalar………………………………………………………… 16

Producto Vertical………………………………………………………… 17

Cálculo Tensorial

Matriz………………………………………………………………………. 18

Contracciones……………………………………………………………. 22

Bibliografía....................................................................... 23

Transformaciones

LINEALES

Existe una clase especial de funciones llamada transformaciones lineales, el cual se ven frecuentemente en el álgebra lineal. Las mismas se aplican a las ciencias físicas, ciencias sociales, economía, comercio y en las ciencias de computadoras.

Se denomina transformación lineal a toda función, T, cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones:

1.

2. donde k es un escalar.

Transformación lineal nula

Transformación lineal identidad

Homotecias

con

Si |k| > 1 se denominan dilataciones

Si |k| < 1 se denominan contracciones

Propiedades de las transformaciones lineales

1.

Núcleo (kernel)

Si es lineal, se define el núcleo y la imagen de T de la siguiente manera:

 Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.

 El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio del dominio:

1. dado que

2. Dados

3. Dados

 Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo. Nulidad(T) = dim(Nu(T))

 O sea que la imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del codominio que son imágenes de al menos algún vector del dominio.

 La imagen de toda transformación lineal es un subespacio del codominio.

 El rango de una transformación lineal es la dimensión de la imagen.

rg(T) = dim(Im(T))

Teorema de las dimensiones

dim(Nu(T)) + dim(Im(T)) = dim(V)

Teorema fundamental de las transformaciones lineales

 Sea B = {v1,v2,v3,...vn} base de V y C = {w1, w2, w3,...wn} un conjunto de vectores de W no necesariamente distintos, entonces existe una única transformación lineal Para todo 1 ≤ ≤ n

Clasificación de las transformaciones lineales

1. Monomorfismo: Si es inyectiva, o sea si el único elemento del núcleo es

el vector nulo.

2. Epimorfismo: Si es sobreyectiva.

3. Isomorfismo: Si es biyectiva.

4. Endomorfismo: Si o sea si el dominio es igual al codominio.

5. Automorfismo: Si es endomorfismo e isomorfismo a la vez.

Para que una transformacion lineal sea invertible debe de ser un isomorfismo, para lo que se requiere que el núcleo debe ser igual al vector nulo del codominio ({Ow}).

Matriz asociada a una transformación lineal

Sea una transformación lineal es posible encontrar una matriz asociada a una transformación lineal

Sean A y B dos conjuntos arbitrarios. Suponga que a cada a є A se le asigna un único elemento de B, la colección f de tales asignaciones se llama una función de A en B y se representa de la forma f: A → B. Escribimos f(a) para representar el elemento de B que f le asigna a a є A, a este elemento se le llama la imagen de a por f. El conjunto de todas las imágenes, esto es, f(A) se llama la imagen de f. Además, A es el dominio de la función f: A → B y B es el campo de valores (recorrido).

A cada función f: A → B le corresponde el subconjunto de A x B dado por {(a, f(a))│a є A}. Llamamos a este conjunto la gráfica de f.

Ejemplo: Sea f: R → R la función que le asigna a cada número real x su cuadrado x2, esto es, f(x) = x2. La imagen de -3 es 9 se expresa de la forma f(-3) = 9.

Definición: Sean V, W espacios vectoriales. Una transformación lineal T de V a W es una función que le asigna a cada vector v en V un único vector Tv є W y que satisface para cada u, v є V y para cada escalar α:

• T( u + v) = Tu + Tv

• T(αv) = αTv

Notación: Escribimos T: V → W para representar que T lleva V a W.

Rotación

Una matriz de rotación, conocida comunmente como Matriz de Rotación de Givens, es una matriz definida de la siguiente forma:

Fila i

Ri , j () =

Fila j

Columna columna

I j

La expresión cos() aparece en la diagonal en las posiciones ( i,i ) y ( j,j ). La expresión sen() en posición ( j, i ) y - sen() en posición ( i, j ). Los otros elementos de la diagonal son 1s, como en la matriz idéntica. Por supuesto que si trabajamos con matrices de orden 2, los unos no aparecen.

La matriz de rotación de orden 2 enmarcada en gris presentada anteriormente se denominaría en esta nueva nomenclatura R1, 2 ( ) .

Tal matriz se utilizó para lograr un cero por medio de una transformación ortogonal, en la posición (2,1), segunda fila, primera columna de la matriz a diagonalizar. Como tal matriz era simétrica y por ser Ri , j ( ) siempre una matriz ortogonal, la transformación semejante produce una matriz simétrica y por lo tanto otro cero aparece automáticamente en la posición (1,2) al aplicar la transformación ortogonal. Otra razón para utilizar matrices ortogonales en el proceso de diagonalización de matrices simétricas además de las razones de estabilidad mencionadas antes.

O sea que para ser claros en nuestra nomenclatura hacemos notar que el 0 en la posición ( 2,1 ) se logró utilizando la matriz R1, 2 ( ) .

Nuestra notación se utiliza de manera apropiada, para concluir que un cero en posición ( i, j ) con i>j se obtiene utilizando la matriz Ri, j( ). Por ello, para lograr un cero en la posición, digamos (3,2), utilizamos la matriz de rotación R2 , 3 ( ) en la cual intervienen las filas 2 y 3. Por supuesto que si A es simétrica, también aparecerá un cero en posición ( 2, 3 ).

Aplicaremos este método a nuestro matriz ejemplo

A =

En nuestro proceso de diagonalización obtendremos un 0 en la segunda fila, primera columna, con nuestra transformación ortogonal, para obtener una matriz que gráficamente luciría como la siguiente:

Para avanzar en el siguiente paso a la forma

y en el siguiente a:

Obteniendo la matriz diagonal deseada.

Obtendremos el primer 0 en la posición ( 2, 1 ) utilizando la matriz de rotación de orden 3, R1, 2( ) en donde las expresiones sen() y cos() aparecen en las intersecciones de las filas 1 y 2 con las columnas 1 y 2, así:

R1, 2( ) =

La expresión R1, 2( ) A R1, 2( ) es:

Observando las matrices como si estuviesen particionadas, incorporando el primer producto

vemos tomando el caso de la diagonalización en R2 que la ecuación

utilizada en el capítulo 6 para matrices cuadradas simétricas del tipo

se aplica en este caso con a = 2, b = -1 y c = 2, concluyéndose que: -2 tan 2  + (-1 – 2) tan  + 2 = 0

o lo que es equivalente (muchos números negativos)

2 tan 2  + 3 tan  - 2 = 0

De aquí se concluye, utilizando la ecuación de segundo grado que: tan  = 1/ 2

Por lo tanto, utilizando un poco de trigonometría y el teorema de Pitágoras, apoyándonos en la siguiente figura de la izquierda, concluimos que:

R1, 2( ) = =

Algunos de los pasos en los cálculos se consignan a continuación.

T

R1, 2( ) A R1, 2( ) =

=

=

“Milagrosamente” apareció un 0 en la posición ( 3, 1 ) evitándonos la utilización de la matriz de rotación R1, 3( ). Apareció por supuesto por simetría, el 0 en la posición ( 1, 2 ) (y por simetría el 0 en la posición ( 1, 3 )).

...