Algebra.

INDICE

Transformación

Lineal………………………………………………………………………… 3

Rotación……………………………………………………………………. 7

Traslación…………………………………………………………………. 14

Vectores

Producto Escalar………………………………………………………… 16

Producto Vertical………………………………………………………… 17

Cálculo Tensorial

Matriz………………………………………………………………………. 18

Contracciones……………………………………………………………. 22

Bibliografía....................................................................... 23

Transformaciones

LINEALES

Existe una clase especial de funciones llamada transformaciones lineales, el cual se ven frecuentemente en el álgebra lineal. Las mismas se aplican a las ciencias físicas, ciencias sociales, economía, comercio y en las ciencias de computadoras.

Se denomina transformación lineal a toda función, T, cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones:

1.

2. donde k es un escalar.

Transformación lineal nula

Transformación lineal identidad

Homotecias

con

Si |k| > 1 se denominan dilataciones

Si |k| < 1 se denominan contracciones

Propiedades de las transformaciones lineales

1.

Núcleo (kernel)

Si es lineal, se define el núcleo y la imagen de T de la siguiente manera:

 Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.

 El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio del dominio:

1. dado que

2. Dados

3. Dados

 Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo. Nulidad(T) = dim(Nu(T))

 O sea que la imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del codominio que son imágenes de al menos algún vector del dominio.

 La imagen de toda transformación lineal es un subespacio del codominio.

 El rango de una transformación lineal es la dimensión de la imagen.

rg(T) = dim(Im(T))

Teorema de las dimensiones

dim(Nu(T)) + dim(Im(T)) = dim(V)

Teorema fundamental de las transformaciones lineales

 Sea B = {v1,v2,v3,...vn} base de V y C = {w1, w2, w3,...wn} un conjunto de vectores de W no necesariamente distintos, entonces existe una única transformación lineal Para todo 1 ≤ ≤ n

Clasificación de las transformaciones lineales

1. Monomorfismo: Si es inyectiva, o sea si el único elemento del núcleo es

el vector nulo.

2. Epimorfismo: Si es sobreyectiva.

3. Isomorfismo: Si es biyectiva.

4. Endomorfismo: Si o sea si el dominio es igual al codominio.

5. Automorfismo: Si es endomorfismo e isomorfismo a la vez.

Para que una transformacion lineal sea invertible debe de ser un isomorfismo, para lo que se requiere que el núcleo debe ser igual al vector nulo del codominio ({Ow}).

Matriz asociada a una transformación lineal

Sea una transformación lineal es posible encontrar una matriz asociada a una transformación lineal

Sean A y B dos conjuntos arbitrarios. Suponga que a cada a є A se le asigna un único elemento de B, la colección f de tales asignaciones se llama una función de A en B y se representa de la forma f: A → B. Escribimos f(a) para representar el elemento de B que f le asigna a a є A, a este elemento se le llama la imagen de a por f. El conjunto de todas las imágenes, esto es, f(A) se llama la imagen de f. Además, A es el dominio de la función f: A → B y B es el campo de valores (recorrido).

A cada función f: A → B le corresponde el subconjunto de A x B dado por {(a, f(a))│a є A}. Llamamos a este conjunto la gráfica de f.

Ejemplo: Sea f: R → R la función que le asigna a cada número real x su cuadrado x2, esto es, f(x) = x2. La imagen de -3 es 9 se expresa de la forma f(-3) = 9.

Definición: Sean V, W espacios vectoriales. Una transformación lineal T de V a W es una función que le asigna a cada vector v en V un único vector Tv є W y que satisface para cada u, v є V y para cada escalar α:

• T( u + v) = Tu + Tv

• T(αv) = αTv

Notación: Escribimos T: V → W para representar que T lleva V a W.

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