Analisis Dimensional

ANÁLISIS DIMENSIONAL

El análisis dimensional es un método que permite reducir el número y complejidad de las variables que intervienen en la descripción de un fenómeno físico dado. Si un fenómeno depende de n variables dimensionales, el análisis dimensional reduce el problema a sólo k variables adimensionales, donde la reducción es n-k = 1, 2, 3 o 4, dependiendo de la complejidad del problema.

Generalmente n-k es igual al número de dimensiones independientes (a veces llamadas dimensiones básicas, primarias o fundamentales) que aparecen en el problema (longitud, L, tiempo, t, masa, M, temperatura, ), sistema MLT, mientras que todas las demás se expresan en términos de éstas. Algunas veces se utiliza el sistema FLT, como la fuerza reemplazando a la masa. A continuación se muestra una tabla en la que se muestran algunas de las variables más importantes en la transferencia de momento y su representación dimensional en términos de M, L y T.

Aunque el objeto del análisis dimensional es reducir variables y agruparlas en forma adimensional, éste método ofrece varias ventajas adicionales. La primera es un enorme ahorro de tiempo y dinero.

Un segundo aspecto consiste en que nos ayuda a pensar y planificar un experimento o teoría. Sugiere formas adimensionales de las ecuaciones antes de gastar tiempo y dinero para encontrar las soluciones con ordenador. Finalmente, el análisis dimensional da a menudo gran información sobre las relaciones físicas que estamos intentando estudiar.

Una tercera ventaja es que proporciona las leyes de escala que pueden convertir los datos obtenidos sobre un pequeño modelo en información para el diseño de un prototipo grande. Cuando las leyes de escala son válidas, diremos que existe semejanza entre el modelo y el prototipo.

Principio de Homogeneidad Dimensional (PDH).

Si una ecuación expresa correctamente una relación entre variables de un proceso físico, debe ser dimensionalmente homogénea; esto es, todos sus sumandos deben tener las mismas dimensiones.

Variables y Constantes.

Las variables dimensionales son las cantidades que varían en un caso dado y podrían representarse una en función de otras para mostrar los resultados.

Las constantes dimensionales pueden variar de un caso a otro, pero se mantienen constantes en un experimento dado.

Las constantes puras no tienen dimensiones y nunca las tendrán. Aparecen en las manipulaciones matemáticas.

Hay algunas variables físicas que son adimensionales en virtud de su definición como relación de cantidades dimensionales, como la deformación (cambio de longitud por unidad de longitud), módulo de Poisson (relación entre el esfuerzo transversal y el esfuerzo longitudinal) y la densidad relativa (relación entre la densidad y la estándar del agua). Todos los ángulos son adimensionales (relación entre la longitud del arco y el radio) y se miden en radianes por esta razón.

Tabla 1. Variables importantes en la transferencia de momento

VARIABLES IMPORTANTES EN LA TRANSFERENCIA DE MOMENTO

NOMBRE DE LA VARIABLE SIMBOLO DIMENSIONES

MLT FLT

Masa M M FT2L-1

Longitud L L L

Área A L2 L2

Volumen V L3 L3

Tiempo T T T

Flujo volumétrico, caudal Q L3T-1 L3T-1

Flujo másico

MT-1 FTL-1

Velocidad del sonido a LT-1 LT-1

Rapidez v LT-1 LT-1

Presión, esfuerzo p, ,  ML-1T-2 FL-2

Velocidad de deformación

T-1 T-1

Aceleración gravitacional g LT-2 LT-2

Ángulo  Ninguna Ninguna

Velocidad angular ,  T-1 T-1

Momento par  ML2T-2 FL

Fuerza F MLT-2 F

Potencia P ML-2T3 FLT-1

Trabajo, energía W, E ML2T-2 FL

Densidad  ML-3 FT2L-4

Temperatura   

Calor específico cp, cv L2T-2-1 L2T-2 -1

Peso específico g ML-2T-2 FL-3

Conductividad térmica k MLT-3-1 FT-1-1

Coeficiente de expansión   -1  -1

Viscosidad  ML-1T-1 FTL-2

Viscosidad cinemática  L2T-1 L2T-1

Tensión superficial  MT-2 FL-1

Ambigüedad: la elección de las variables y de los parámetros de escala.

Las variables son los valores que queremos representar, los resultados básicos del experimento o la teoría. Los parámetros son aquellas cantidades que influyen en las variables que deseamos conocer.

Para dimensionalizar nuestros resultados, necesitamos conocer cuántas dimensiones contienen nuestras variables y parámetros.

Entre los parámetros, se seleccionan los parámetros de escala (o variables dimensionalmente independientes) que se usarán para definir variables adimensionales. Los parámetros restantes serán los parámetros <<básicos>> cuyo efecto se desea analizar. La elección no afectará al contenido de los datos, sino a la forma de presentarlos. En cada caso la elección más adecuada viene determinada por el propósito de estudiar un efecto en particular.

Método básico de análisis dimensional.

Consiste en reducir al mínimo el número de variables que pueden intervenir en un problemas, formando con las mismas una serie de grupos adimensionales independientes. En este método todas las ecuaciones racionales se pueden hacer adimensionales con un cierto número de términos independientes; las variables se acomodan en una ecuación dimensional única, de forma que la combinación de variables para formar grupos o términos adimensionales, proporciona un número de grupos independientes siempre menor que el de variables originales.

El proceso se puede iniciar identificando sólo aquellas variables que son significativas del problema; después se agrupan en una ecuación funcional y se determinan sus dimensiones.

Se denomina grupo adimensional, aquel cuya dimensión es 1; es decir, cuando el producto de un grupo de cantidades expresadas dimensionalmente es igual a 1.

La manera de relacionar estos grupos adimensionales y las variables que afectan a un fenómeno físico en cuestión, nos viene relacionado por el teorema de Buckingham o teorema de .

Teorema de () Buckingham.

Una situación más general en que puede utilizarse en forma ventajosa el análisis dimensional es cuando no existe una ecuación diferencial que rija el proceso y que se aplique con claridad. En este caso se requiere un procedimiento más general. Tal procedimiento general se conoce como el método de Buckingham.

La etapa inicial para aplicar el método de Buckingham requiere del listado de las variables significativas en un determinado problema. Entonces, es necesario determinar el número de parámetros adimensionales en los que puedan combinarse las variables. Este número puede determinarse utilizando el teorema pi () de Buckingham, que establece que:

El número de grupos adimensionales que se utilizan para describir una situación en que intervienen n variables es igual a n-r, donde r es el orden de la matriz dimensional de las variables.

Así pues, i = n – r, donde

i = número de grupos adimensionales independientes,

n = número de variables que intervienen y

r = orden de la matriz dimensional.

La matriz dimensional es simplemente la matriz formada por tabulación de los exponentes de las dimensiones fundamentales M, L, y T, que aparecen en cada una de las variables involucradas.

Aplicaciones del teorema de pi ().

El teorema pi, lo único que nos dice es el número mínimo de grupos adimensionales. Para la construcción completa de un sistema de grupos adimensionales, se debe seguir con el siguiente método:

Escribir una relación funcional para la relación dimensional que se investiga, asegurándose de incluir todos los parámetros dimensionales relevantes.

Así podemos escribir la pérdida de altura por fricción (Hfricción) en una tubería recta de sección circular, que depende de:

Donde  es la rugosidad absoluta de la tubería (dimensión longitud).

Determinar el número de parámetros adimensionales que se requieren construir.

Para ello cada variable la expresamos dimensionalmente (ver tabla 1):

Hfricción = L

L = L

D = L

V = L/T

 = M/L3

 = M/(L*T)

 = L

En donde tenemos 7 variables (n) y 3 dimensiones (k). Por tanto el número de grupos adimensionales que tendremos según el teorema de “pi” es de:

n – k = 7 – 3 = 4 grupos adimensionales.

Cálculo de los grupos adimensionales.

La relación funcional se expresa dimensionalmente, elevando las variables dependientes a coeficientes:

[L] = f ([L]a, [L]b, [L*T-1]c, [M*L-3]d, [M*L-1*T-1]e, [L]f)

Como debe ser una ecuación dimensionalmente homogénea, el lado izquierdo de la igualdad tiene que tener la misma dimensión que el lado derecho de la igualdad, por tanto se cumple:

[L] 1 = a + b + c – 3d – e + f

[T] 0 = - c – e

[M] 0

...