Análisis dimensional y semejanza.

Análisis dimensional y semejanza.

En virtud de que muy pocos flujos reales pueden resolverse con exactitud sólo mediante métodos analíticos, el desarrollo de la mecánica de fluidos ha dependido en gran medida de los resultados experimentales. Las soluciones de los problemas reales suelen implicar una combinación del análisis y la información experimental. En primer término, la situación del flujo físico real se aproxima con un modelo matemático que es lo suficientemente simple para producir una solución. Después se efectúan las mediciones experimentales para verificar los resultados analíticos. Con base en las mediciones, se realizan refinamientos en el análisis. Los resultados experimentales son un enlace esencial en este proceso iterativo. Los diseños experimentales, elaborados sin análisis o una revisión cuidadosa de los datos experimentales disponibles, son con frecuencia costosos y pobres o inadecuados en su desempeño.

Sin embargo, el trabajo experimental en el laboratorio consume tiempo y es caro. Un objetivo evidente es obtener la mayor información posible de unos cuantos experimentos. El análisis dimensional es una herramienta importante que a menudo nos ayuda a alcanzar este objetivo. Los parámetros dimensionales que se obtienen también pueden utilizarse para correlacionar datos para presentación, empleando el mínimo número posible de gráficas.

Cuando la prueba experimental de un prototipo

de tamaño natural es imposible o prohibitivamente costosa (lo que ocurre muy a menudo), la prueba de modelos en el laboratorio es la única manera factible de atacar el problema. Si se va a predecir el comportamiento del prototipo a partir de mediciones en el modelo, es obvio que no se puede efectuar cualquier prueba sobre cualquier modelo. El flujo del modelo y el del prototipo deben relacionarse mediante leyes de escalamiento conocidas.

El análisis dimensional es una técnica de condensación o compactación que se utiliza para reducir la complejidad de programas experimentales y, al mismo tiempo, para incrementar la generalidad de la información experimental. Esta compactación de información que se produce por medio del análisis dimensional también tiene otros usos. Es igualmente aplicable a investigaciones teóricas (analíticas) y a resultados. También el análisis dimensional proporciona las herramientas para decidir a priori si es probable que un flujo sea laminar o turbulento, o si las suposiciones simplificativas, tales como omitir la compresibilidad, son adecuadas.

Adicionalmente se requiere señalar lo siguiente en relación con el análisis dimensional:

El análisis dimensional en ocasiones es confuso para los• principiantes. El principio básico que comprende parece obvio, casi trivial. Sin embargo, la ejecución de la técnica con frecuencia parece casi mágica.

La confusión surge porque•

en general se espera que las teorías estén completas; esto es, que comiencen por el principio y continúen hasta el final. El análisis dimensional es muy breve para proporcionar una respuesta final a un problema de ingeniería particular; sencillamente conduce a una organización más eficiente de las variables. La respuesta final proviene del laboratorio o de los métodos analíticos.

El análisis dimensional indica que las variables se pueden organizar• de manera eficiente, y sugiere algunas maneras posibles de cómo realizar la organización misma; sin embargo, no permite encontrar resultados únicos.

El análisis dimensional es un método que permite reducir el número y complejidad de las variables que intervienen en la descripción de un fenómeno físico dado, para lo que se utiliza una serie de técnicas. Si un fenómeno depende de n variables dimensionales, el análisis dimensional reduce el problema a sólo k variables adimensionales, donde la reducción es n – k = 1, 2, 3 o 4, dependiendo de la complejidad del problema. Generalmente, n – k es igual al número de dimensiones

independientes (a veces llamadas dimensiones básicas, primarias o fundamentales) que aparece en el problema. En Mecánica de Fluidos, las cuatro dimensiones básicas se toman generalmente como la masa M, la longitud L, el tiempo T y la temperatura Θ; en resumen, un sistema MLTΘ. Algunas veces se utiliza el sistema FLTΘ, con la fuerza

F reemplazando a la masa.

Aunque el objeto del análisis dimensional es reducir variables y agruparlas en forma adimensional, este método ofrece varias ventajas adicionales. La primera es un enorme ahorro de tiempo y dinero. Supongamos que se sabe que la fuerza F sobre un cuerpo inmerso en la corriente de un fluido depende sólo de la longitud del cuerpo L, de la velocidad de la corriente U, de la densidad del fluido ρ y de su viscosidad μ; esto es,

F = f(L, U, ρ, μ) (1)

Supongamos además que la geometría y las condiciones del flujo son tan complicadas que las ecuaciones en forma integral y diferencial no pueden resolverse para obtener la fuerza. En este caso debemos determinar experimentalmente la función f(L, U, ρ, μ). En general, se necesitan unos 10 puntos para dar una curva. Para determinar la influencia de la longitud del cuerpo en la fuerza necesitaremos repetir el experimento para 10 longitudes L. Para cada L necesitaremos 10 valores de U, 10 valores de ρ y 10 valores de μ, debiendo realizarse en total 104, o 10,000 experimentos. Sin embargo con el análisis dimensional podemos reducir la ecuación (1) a su forma equivalente:

F/( ρU2L2) = g(ρUL/ μ)

o (2)

CF = g(Re)

Esto es, el coeficiente adimensional de fuerza F/( ρU2L2) es sólo función del número adimensional de Reynolds ρUL/ μ. Más adelante se aprenderá a hacer esta reducción.

Tenga en cuenta que la ecuación (2) es sólo un ejemplo

y no contempla la

...