Antiderivada

Acción CI3-101: El proceso de la Antiderivada

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La forma más elemental de obtener antiderivadas es aplicar de manera inversa los teoremas de derivadas, tal y como se mostró en la Acción CI2-102. Sin embargo debido al constante uso de las tablas, en la mayoría de los textos se incluye una tabla que muestra los teoremas básicos de antiderivadas, consigue una y tenla contigo te será muy útil.

Una de las expresiones más simple y a la vez muy útil es la llamada un, ya que según la tabla de derivadas (un)’ = nun-1u’.

• ¿Por qué la antiderivada presenta ?

• ¿Cómo se vería la antiderivada si el teorema se hubiera presentado así:

?

• ¿Cuál de las dos formas es más común de encontrar en las expresiones?

Encontrar una antiderivada es un proceso ordenado en el cual lo más importante es verificar que todos los elementos de la estructura estén presentes e identificar cual será la elección más adecuada de u, para eso se te sugiere el siguiente esquema:

1. Detecta si existen simplificaciones algebraicas que generen un integrando más simple.

2. Si existen sumas o restas como expresión central separa el integrando en varias integrales. Recuerda sólo sumas y restas. Si hay alguna constante multiplicando a todo el integrando “escríbela fuera de la integral”.

3. Analiza la estructura del integrando y busca en los teoremas aquel que más se le parezca. Si tiene cocientes busca cocientes, si tiene radicales buscas radicales, etc.

4. No te dejes apantallar por la aparente complejidad, seleccionado una u adecuada, pueden ocurrir simplificaciones importantes. Selecciona la parte del integrando que consideras es “u, n, a” o cualquier otra componente que la estructura requiera.

5. El paso más delicado es probar que “du” está completo, puedes adivinarlo en muchos casos, pero se cuidadoso aquí es donde la mayoría se resbala... Si seleccionaste una expresión g(x) como u, como normalmente la integral por resolver tiene dx, derívala y tendrás .

6. Sustituye la g(x) elegida por u, y dx por la expresión obtenida, simplifica lo que resulte necesario y escribe fuera de la integral las constantes que multipliquen a todo el integrando... la integral obtenida en este punto debe ser exactamente igual a la de tu “tabla de integrales” excepto por las constantes que están fuera. Si no es así no elegiste adecuadamente a u, o la “fórmula” no es la adecuada y tendrás que seleccionar nuevamente. A veces el proceso es de prueba y error mientras se adquiere experiencia.

7. Si las estructuras fueron iguales en el paso previo, la integral está resuelta así que simplemente escribe el resultado.

8. Ahora regresa el resultado a las variables originales, sustituyendo las u que encuentres por la g(x) seleccionada, simplifica

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