LA ANTIDERIVADA
Enviado por Diego de Jesus Rubio Martinez • 3 de Octubre de 2020 • Apuntes • 2.636 Palabras (11 Páginas) • 314 Visitas
LA ANTIDERIVADA
Una vez resuelto el problema de la derivada, nos enfocaremos a tratar el problema de encontrar una función F, tal que, su derivada sea la función conocida f. Si la función F existe, entonces la función F es la antiderivada de f.
Definición. Una función F es una antiderivada de f en un intervalo dado si para toda x en dicho intervalo.[pic 1]
Ejemplo. Si , una antiderivada de f es la función , ya que . En este caso, se dice que es una antiderivada de f, porque puede haber más de una. Por ejemplo ahora consideremos la función , observamos que , porque . Las funciones F y G difieren solo en una constante por lo que se deduce que hay una familia de funciones que son antiderivadas de la función f, esto se representa en la forma , despejando , se obtiene . A esta función se le llama la antiderivada más general.[pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11]
Ejemplo 1. Encuentre la antiderivada más general de la función
[pic 12]
Solución. La antiderivada más general de f es ya que .[pic 13][pic 14]
Ejemplo 2. Hallar la antiderivada más general de la función
, la antiderivada más general es la función , ya que .[pic 15][pic 16][pic 17]
Ejemplo 3. Encuentre la antiderivada más general de la función
, la antiderivada más general es la función , ya que [pic 18][pic 19][pic 20]
Se observa que esta secuencia se puede generalizar usando la regla de la potencia para derivadas. Esto es si la antderivada más general de f es , ya que .[pic 21][pic 22][pic 23]
Ejercicios. Hallar la antiderivada más general de la función.
(Comprobar la respuesta por derivación).
- R. [pic 24][pic 25]
- R. [pic 26][pic 27]
- R. [pic 28][pic 29]
- R. [pic 30][pic 31]
- R. [pic 32][pic 33]
Es posible calcular el valor de la constante C, para ello se requiere que se cumpla cierta condición. Por ejemplo. Dada
. La antiderivada general de es[pic 34][pic 35]
. Para determinar C, se tiene que , es decir , despejando C de esta igualdad se obtiene C = . De esta manera se puede determinar el valor de la constante C. Así la función f, está dada por[pic 36][pic 37][pic 38][pic 39]
[pic 40]
Ejercicios. Hallar f
- R. C = 6[pic 41]
- R. C = 4[pic 42]
- R. C = 4 [pic 43]
Ejercicio. Dada represente gráficamente a la familia de antiderivadas de esta función, es decir, representar en una gráfica las funciones[pic 44]
[pic 45]
[pic 46]
[pic 47]
[pic 48]
[pic 49]
Sugerencia: Usar GEOGEBRA o cualquier otro software, que nos permita representar gráficamente esta familia de antiderivadas.
A la antiderivada se le llama integral indefinida y se representa en la forma . En esta notación el símbolo∫ que es una s alargada se le llama signo de integral, a se le llama integrando, el símbolo por sí solo no tiene un significado.[pic 50][pic 51][pic 52][pic 53]
Existe una integral indefinida para cada valor de la constante C, por lo que se dice que una integral indefinida es una familia de funciones.
TABLA DE FÓRMULAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS
[pic 54][pic 55]
[pic 56][pic 57]
[pic 58][pic 59]
[pic 60]
[pic 61][pic 62]
[pic 63][pic 64]
[pic 65][pic 66]
[pic 67][pic 68]
Ejemplo 1. Obtenga la integral indefinida general y verifique mediante derivación el resultado.
comprobando, se tiene [pic 69][pic 70]
Ejemplo 2. Obtenga la integral indefinida general y verifique mediante derivación el resultado.
derivando este resultado[pic 71]
[pic 72]
Ejemplo 3. Obtenga la integral indefinida general y verifique mediante derivación el resultado.
derivando, se obtiene = [pic 73][pic 74][pic 75]
Ejercicios. Resolver las siguientes integrales indefinidas
- R. [pic 76][pic 77]
- R. [pic 78][pic 79]
- R. [pic 80][pic 81]
- R. [pic 82][pic 83]
- R. [pic 84][pic 85]
- R. [pic 86][pic 87]
- R. [pic 88][pic 89]
- R. [pic 90][pic 91]
- R. [pic 92][pic 93]
- R. [pic 94][pic 95]
REGLA DE SUSTITUCIÓN O MÁS COMUNMENTE CONOCIDA COMO CAMBIO DE VARIABLE.
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