Aplicacion De Ecuaciones Diferenciales

PROBLEMA

Unproductonuevo de cerealseintroducea través deunas campañas de publicidada una poblaciónde1 millón de clientespotenciales. Lavelocidad a la quelapoblaciónse entera del productose supone que esproporcional al número depersonas quetodavía no son conscientesdel producto. Al finaldeun año, la mitad dela poblaciónha oído hablardelproducto. ¿Cuántoshanoído hablardeélporel finalde 2años?

SOLUCIÓN

En primer lugar definimos las variables que forman parte del problema:

y:es el número en millones de personas (clientes potenciales).

t: tiempo que han oído hablar del producto.

(1-Y): es el número de personas que no han oído de este.

dy : la velocidad a la que la población conoce sobre el producto.

dt

En segundo lugar especificamos la expresión diferencial que describe el problema.

dy =k (1- y)Ecuación Diferencial

dt

Para resolver la ecuación diferencial:

1. Separamos las variables:

dy = k (1 - y) dt Forma Diferencial

dy = k dt

(1 - y)

2. Integramos a ambos lados de la igualdad.

ʃdy = ʃ k dt

(1 - y)

- ln ǀ1 - yǀ = kt + C1

Ln |1 - y | = - kt + C1 Multiplicamos por -1

1 – y = ℮^- kt + C1Aplicamos propiedad de los logaritmos y asumimos que y<1

Y = 1 - C℮^(- kt)

Para el cálculo de la solución particular se debe aplicar las condiciones iniciales del problema a la solución general, es decir:

y = 0 cuando t = 0, por tanto C = 0

y = 0.5 cuando t = 1, por tanto k = ln 2 = 0.693 0.5 = 1 - ℮^(- k)

En la solución particular reemplazamos t por 2, esto es el número de años que ha transcurrido

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