APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES.

INTRODUCCION

Una ecuación diferencial es cierto tipo de función en la que intervienen derivadas, en la cual deseamos encontrar cual es la función original que satisface a la ecuación diferencial, utilizando cualquier método ya conocido.

Este documento tiene como objetivo presentar algunas de las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales, específicamente de primer orden, en el campo de la ingeniería civil así como también ejemplos que faciliten la comprensión del mismo.

Circuito en serie

Cuando un circuito en serie sólo contiene un resistor y un inductor (circuito ), la segunda ley de Kirchhoff establece que la suma de las caídas de voltaje a través del inductor () y del resistor () es igual al voltaje aplicado, (), al circuito (Fig. 1)[pic 5][pic 1][pic 2][pic 3][pic 4]

                                       Fig.1 Circuito LR en serie

Con lo anterior se obtiene la ecuación diferencial lineal que describe la corriente i(t),

              (1)[pic 6]

en que L y R son las constantes conocidas como inductancia y resistencia, respectivamente. La corriente  se llama, también, respuesta del sistema.[pic 7]

 [pic 8]

                                       Fig.2 Circuito RC en serie

La caída de voltaje a través de un capacitor de capacitancia  es , donde  es la carga del capacitar; por lo tanto, para el circuito en serie de la figura 2 (circuito RC), la segunda ley de Kirchhoff establece[pic 9][pic 10][pic 11]

             (2)[pic 12]

Pero la corriente  y la carga q se relacionan mediante , así, la ecuación (2) se transforma en la ecuación diferencial lineal[pic 13][pic 14]

            (3)[pic 15]

Ejemplo. “Circuito en serie”

Un acumulador de 12 volts se conecta a un circuito en serie , con una inductancia de  henry y una resistencia de 10 ohms. Determinar la corriente , si la corriente inicial es cero.[pic 16][pic 17][pic 18]

Solución:

Lo que debemos resolver, según la ecuación (1), es

[pic 19]

sujeta a . Primero multiplicamos la ecuación diferencial por 2, y vemos que el factor integrante es . A continuación lo sustituimos[pic 20][pic 21]

.[pic 22]

Al integrar cada lado de esta ecuación y despejar  obtenemos . Si , entonces , o bien ; por consiguiente, la respuesta es[pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27]

[pic 28]

A partir de la ecuación,

[pic 29]

Podemos formular la una solución general de (1):

                       (4)[pic 30]

En especial, cuando  es una constante, la ecuación (ll) se transforma en[pic 31]

                                                 (5)[pic 32]

Observamos que cuando , el segundo término de la ecuación (5) tiende a cero. A ese término se le suele llamar término transitorio; los demás miembros se llaman parte de estado estable (o estado estacionario) de la solución. En este caso,  también se denomina corriente de estado estable o de estado estacionario; cuando el tiempo adquiere valores grandes, resulta que la corriente está determinada tan sólo por la ley de Ohm, .[pic 33][pic 34][pic 35]

...