Aplicaciones De Ecuaciones Diferenciales

PROBLEMAS DE APLICACION DE ECUACIONES DE PRIMER ORDEN

1) Una población bacteriana B se sabe que tiene una tasa de crecimiento proporcional a B misma. Si entre el mediodía y las 2:00 p.m. la población se triplica, ¿a qué tiempo si no se efectúa ningún control, B será 100 veces mayor que el mediodía?

VARIABLE DEPENDIENTE

Bacterias=B

VARIABLE INDEPENDIENTE

Tiempo=t

El crecimiento bacteriano respecto al tiempo, es proporcional a la cantidad de bacterias, y para que se una ecuación, se debe multiplicar por la constante k, que tiene las unidades necesarias para que sea una igualdad.

dB/dt=kB

La ecuación diferencial es separable:

∫▒dB/B=k∫▒dt

y la solución de la ecuación diferencial es:

Ln(B)=Kt+c

Se debe despejar el valor de B, por lo que se hace el siguiente procedimiento:

[Ln(B)=Kt+c]*e

B=e^(Kt+c)

B=〖ce〗^Kt

B(t)=〖ce〗^Kt

Se aplica la condición inicial para obtener c:

T=0 B(0)= Bo

Bo=〖ce〗^(K(0))

y se obtiene que

C= Bo

Se sustituye el valor de c en la ecuación y queda la solución general del problema:

B(t)=〖Boe〗^Kt

Aplicando la condición a la frontera se obtiene que

T=2 B(2)= 3Bo

3Bo=〖Boe〗^K(2)

[3=e^K(2) ]*1^(1/2)

3^(1/2)=e^K

Se sustituye el valor de k en la ecuación y queda la solución particular del problema:

B(t)=〖Bo*3〗^(1/2*t)

Se resuelve el problema con los datos proporcionados y obtenidos:

T=? B(?)= 100Bo

100Bo=〖Bo*3〗^(1/2*t)

100=3^(1/2*t)

Para despejar t se utiliza la función Ln y con esto se elimina exp:

Ln(100)=1/2 t*Ln(3)

Despejando el valor de t:

t=(2*Ln(100))/(Ln(3))

Se obtiene el valor de t

t=8:22 hrs

2) Se observa que cierta bacteria se duplica en 8h . ¿Cuál es la tasa de crecimiento?

VARIABLE DEPENDIENTE

Bacteria=B

VARIABLE INDEPENDIENTE

Tiempo=t

El crecimiento bacteriano respecto al tiempo, es proporcional a la cantidad de bacterias, y para que se una ecuación, se debe multiplicar por la constante k, que tiene las unidades necesarias para que sea una igualdad.

dB/dt=kB

La ecuación diferencial es separable:

∫▒dB/B=k∫▒dt

y la solución de la ecuación diferencial es:

Ln(B)=Kt+c

Se debe despejar el valor de B, por lo que se hace el siguiente procedimiento:

[Ln(B)=Kt+c]*e

B=e^(Kt+c)

B=〖ce〗^Kt

B(t)=〖ce〗^Kt

Se aplica la condición inicial para obtener c:

T=0 B(0)= Bo

Bo=〖ce〗^(K(0))

y se obtiene que

C= Bo

Se sustituye el valor de c en la ecuación y queda la solución general del problema:

B(t)=〖Boe〗^Kt

Aplicando la condición a la frontera se obtiene que

T=8 B(8)= 2Bo

2Bo=〖Boe〗^K(8)

2=e^K(8)

Para despejar t se utiliza la función Ln y con esto se elimina exp:

Ln(2)=8*K

Se despeja el valor de k y se obtiene la tasa de crecimiento

K=1/8*Ln(2)

K=0.086643

3) Un cristal crece 5% en un día. ¿Cuándo se puede esperar que el cristal tenga el doble de su tamaño?

VARIABLE DEPENDIENTE

Cristal=ε

VARIABLE INDEPENDIENTE

Tiempo=t

El crecimiento del cristal respecto al tiempo, es proporcional al tamaño del cristal, y para que se una ecuación, se debe multiplicar por la constante k, que tiene las unidades necesarias para que sea una igualdad.

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