CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA

CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA

1 - El movimiento de una partícula está definido por la relación x = t3 – 6t 2 + 9t + 5 con x expresado en metros y t en segundos. Calcular: a) t para v = 0; b) Posición, aceleración y distancia total recorrida cuando t = 5 s.

Resp.: a) t1 = 3s; t2 = 1s b) x = 25 m; 18 m/s2 ; stot = 28 m

2 - La aceleración de un punto en movimiento oscilatorio armónico es a = - k.s , en donde s es la distancia al origen y k una constante positiva. Encontrar el valor de k tal que la velocidad sea 37,5 cm/s cuando s = 0 y nula cuando s =7,5 cm.

Resp.: k = 25 s-2

3 - La aceleración de una partícula es a = k. sen ( t/T). Si tanto la velocidad como la coordenada de posición de la partícula son cero cuando t = 0, determinar: a) Las ecuaciones de movimiento. b) La máxima velocidad. c) La posición para t = 2T. d) La velocidad media en el intervalo de t = 0 a t = 2T.

Resp.:a) b)

c) d)

4 - Un mecanismo de freno consiste en un émbolo que puede moverse en un cilindro lleno de aceite. El émbolo posee orificios de modo que cuando se mueve con una velocidad inicial v0 el aceite es forzado a pasar a través de los orificios, resultando una desaceleración proporcional a la velocidad a = - k.v. Expresar a) la velocidad en términos de t, b) el espacio x en términos de t, c) la velocidad v en términos del espacio x d) dibujar las curvas correspondientes.

Resp.: a) b) c)

5 - La aceleración de una partícula está dada por a = - kx –2. Inicialmente la partícula está en reposo a una distancia x = 800 mm y cuando x = 500 mm su velocidad es 6 m/s. Determinar el valor de k y la aceleración de la partícula cuando x = 250 mm.

Resp.: k = 24 m3/s2 a = -384 m/s2

6 - La aceleración de una partícula se define por medio de la relación a = -0,02 v 1,75 , donde a está en m/s2 y v en m/s. Si la velocidad inicial de la partícula es de 15 m/s en x = 0, calcular: a) La posición donde la velocidad es 14 m/s. b) La velocidad de la partícula para x = 100 m.

Resp.: a) x = 6,74 m b) v = 4,64 m/s

7 - La aceleración de la gravedad a una altura y sobre la superficie de la tierra se expresa por:

en m/s2 , siendo R el radio de la tierra. Tomando R = 6.370 km, calcular la altura que alcanza una bala lanzada verticalmente hacia arriba en los siguientes casos: a) 200 m/s b) 2000 m/s c) 11,18 km/s.

Resp.: a) 2,039 km b) 210,6 km c) infinito

8 - Determinar la velocidad y aceleración de una partícula que se mueve sobre una circunferencia de radio r en el plano x, y. El ángulo que forma el vector posición con el eje x es  = c.t2. Expresar esas magnitudes en coordenadas cartesianas, polares e intrínsecas. Calcular dichos valores si rad/s2 y r = 15 cm.

En coordenadas Cartesianas: m/s

m/s2

En coordenadas Polares:

En coordenadas intrínsecas:

9 - El movimiento de un punto sobre una línea recta se describe mediante la ecuación

donde v0, m, k y e son constantes. Hallar la aceleración a como una función de la velocidad v.

Resp.:

10 - Una partícula se mueve con velocidad de módulo constante v a lo largo de una hélice, cuyas ecuaciones en coordenadas cilíndricas son: r = h (constante); z = (p paso de la hélice = cte.). Calcular las componentes de velocidad y aceleración.

Resp.: donde

11 - Un punto se mueve con velocidad de módulo constante a lo largo de una trayectoria helicoidal de ecuación: x = a.cos b.t ; y = a.sen b.t; z = c.t. Determinar el módulo de la velocidad y la aceleración del punto.

Resp.:

12 - Una partícula se mueve con velocidad constante sobre una recta paralela al eje x. Encontrar y usando coordenadas cilíndricas.

Resp.:

13 - El movimiento de una partícula está dada por las ecuaciones:

x = v0 t. cos  y = v0 t. sen  - ½ g.t2

Hallar: a) La trayectoria de la partícula. b) Las coordenadas del punto más alto de la trayectoria. c) Las componentes de la velocidad en las direcciones x e y cuando la partícula cruza el eje x.

a) Trayectoria:

b) Coordenadas del punto más alto:

Componentes de v para y = 0:

14 - Una partícula se mueve sobre la curva y = h.tg k.x; z = 0, donde h y k son constantes. Si la velocidad es una constante, hallar la aceleración de la partícula.

Resp.:

15 - Un cañón situado a una altura h = 150 m sobre el nivel del piso, dispara un proyectil con una velocidad inicial v = 180 m/s y un ángulo de tiro de 30 respecto de la horizontal. Determinar el radio de curvatura de la trayectoria descripta por un proyectil: a) cuando el proyectil sale del cañón; b) en la máxima elevación del proyectil.

Resp.: a = 3813,7 m b =2477,1 m

16 - El movimiento de una partícula está definido por el vector r = 6.cos 2t y el ángulo  = t; donde r está en metros, t en segundos y  en radianes. Encontrar la velocidad y aceleración de la partícula a) cuando t = 0 s y b) cuando t = 0,25 s.

Resp.: a) a = -302er b) a = -242e

17 - Un tren se pone en marcha teniendo un movimiento uniformemente acelerado por un tramo de circunferencia de radio R = 800 m. Después de un trayecto de 600 m alcanza una velocidad de 36 km/h. Determinar la velocidad y aceleración en el punto medio del trayecto.

Resp.: v = 7,07 m/s a = 0,104 m/s2

18 - Un punto P se mueve con velocidad v de módulo constante en sentido antihorario sobre una circunferencia de radio r. Encontrar las componentes radial y transversal de la velocidad y la aceleración tomando como origen el polo O.

Resp.:

19 - Una partícula P recorre una trayectoria circular de radio r = 2,5 m. Si el vector aceleración total es el indicado con un módulo a= 17 m/s2 y  = 30, encontrar la velocidad de P y la aceleración angular del radio OP.

Resp.: v = 6,067 m/s; r/s2

20 - Un cohete se lanza verticalmente y es seguido por un radar. Cuando  = 60, rad/s y rad/s2. Si en ese instante  = 9.000 m, determinar la velocidad y aceleración absolutas del cohete.

Resp.: v = 360 m/s a = 60,94 m/s2

21 - Un brazo ranurado que se halla en el plano x,y gira alrededor de un pasador en O con una velocidad angular constante de 2 rad/s en sentido de las agujas del reloj. El bloque deslizante P se mueve alejándose del origen a lo largo del brazo a una velocidad constante de 2m/s. Cuando  = 60 y OP = 2,5 m, calcular la velocidad y aceleración absolutas del bloque P según un observador inercial en O y según un observador que usa referencia de coordenadas polares con origen en O.

Resp.: Observador inercial:

En coordenadas polares:

22 - Un policía motorizado parte del reposo de un punto A dos segundos después que un auto pasa por dicho punto a una velocidad constante de 120 km/h. Si el policía acelera en forma constante con a = 6 m/s2 hasta alcanzar su máxima velocidad de 150 km/h, la cual mantiene, calcular la distancia del punto A en la cual alcanzará al automóvil. Dibujar las curvas espacio-tiempo y velocidad-tiempo.

Resp.: s = 911,33 m

23 - Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba desde un puente 40 m sobre el agua. Si la piedra golpea 4 s después de arrojarse, determinar: a) La velocidad con la cual se arrojó la piedra. b) La velocidad con que cayó al agua.

Resp.: vi = 9,62 m/s vf = -29,62 m/s

24 - Una pelota se lanza con velocidad de 10 m/s verticalmente hacia arriba desde una ventana a 20 m del suelo. Sabiendo que la aceleración de la pelota es g = 9,81 m/s2 hacia abajo, determinar: a) la velocidad v y la altura y de la pelota respecto del suelo en cualquier momento. b) La máxima altura alcanzada por la pelota y el correspondiente valor de t. c) El tiempo en que la pelota golpeará el piso y la velocidad correspondiente.

Resp.: a) v = 10 – 9,81 t y = 20 + 10 t – 4,905 t2

b) ymax = 25,1 m tmax = 1,0194 s c) tf = 3,28 s vf = - 22,2 m/s

25 - Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba desde 12 m de un pozo de un ascensor, con velocidad inicial vi = 18 m/s. En ese momento, un ascensor de plataforma abierta pasa por el nivel de 5 m moviéndose hacia arriba con v = 2 m/s constante. Determinar: a) Cuándo y a que altura del pozo golpeará la pelota a la plataforma. b) La velocidad relativa de la pelota respecto del ascensor en el momento del encuentro.

Resp.: a) t = 3,65 s h = 12,3 m b) vrel = -19,81 m/s

26 - Si la aceleración de la gravedad está expresada por , en la que R es el radio de la Tierra y r es la distancia desde el centro de la Tierra hasta una partícula que está a una altura h, calcular la velocidad de escape, es decir, aquella con la que debe lanzarse una partícula verticalmente hacia arriba desde la superficie de la Tierra para que no regrese a ésta.

Resp.:

27 - Una barra rígida de longitud l está apoyada simultáneamente contra pared y piso (un extremo cada uno), sin rozamiento, de modo tal que al inicio del movimiento, el extremo apoyado en el piso tiene una velocidad inicial v0. Obtener la velocidad y la aceleración del extremo B apoyado contra la pared. (la velocidad del extremo A permanece constante).

Resp.:

28 –

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