CINEMATICA DE LA PARTICULA Y DEL CUERPO RIGIDO.

UNIDAD 1: CINEMATICA DE LA PARTICULA Y DEL CUERPO RIGIDO.

TAREA #1:

DESARROLLO HISTORICO DE LAS UNIDADES DE MEDIDA Y DE LOS SISTEMAS DE UNIDADES

Cuando el hombre primitivo tuvo la necesidad de encontrar referencias que le permitieran hablar de los lapsos menores a los transcurridos entre la salida del sol o de la luna, observó que la sombra proyectada por una roca se movía por el suelo a medida que el tiempo pasaba. Se le ocurrió entonces colocar una piedra en lugares en los cuales se realizara alguna actividad especial, o bien, retornaría a su caverna para comer cuando la sombra de la roca llegara hasta donde había colocado la piedra. Gracias al desplazamiento de la sombra de la roca proyectada por el sol, el hombre tuvo su primer reloj para medir el tiempo. También trataba de comparar el peso de dos objetos para saber cual era mayor al colocar uno en cada mano. Pero un buen día alguien tuvo la idea de poner en equilibrio una tabla con una roca en medio y colocar dos objetos en ambos extremos de la tabla, así el objeto que mas bajara era el de mayor peso. Se había inventado la primera y burda balanza.

Para medir la longitud, el hombre recurriría a medidas tomadas de su mismo cuerpo. Los egipcios usaban la brazada, cuya longitud equivalía a las dimensiones de un hombre con los brazos extendidos. Los ingleses usaban como patrón la longitud del pie de su rey. Los romanos usaban el peso y la milla equivalente a mil pasos. Para ellos, un paso era igual a dos pasos de los actuales, pues cada uno era doble, ya que cada pie daba un avance. También se utilizaron otras partes del cuerpo humano; el codo era la distancia desde el codo hasta el extremo del dedo medio; el palmo o la cuarta era la distancia entre el extremo del dedo pulgar y el meñique al estar abierto la mano. La elección de la unidad de medida de longitud se convirtió en una cuestión de prestigio, pues era inconcebible que una nación utilizara la medida de alguna parte del cuerpo del soberano de otro país. Por tanto, cada vez se crearon más unidades diferentes, y cada país poderoso tenía sus propias medidas. Es fácil imaginar el desconcierto reinante en esos tiempos para el comercio entre los pueblos.

Cuando Roma se integra en un imperio y conquista muchos territorios (Siglo II a.c. al siglo IV d.c.) trata de poner en orden la diversidad de unidades, establece la libra como unidad de peso y el pie como unidad de longitud; Para ello, modela un cuerpo representativo como patrón del peso de una libra y una barra de bronce que muestre la longitud equivalente al pie. Por primera vez existía una misma forma de pesar y medir longitudes.

Cuando se dió la decadencia del imperio romano, el poder político y económico que ejercía quedó en ruinas, nuevamente surgió la anarquía en las unidades de medidas, la cual duró todo el período de la edad media (Siglo V al Siglo XV d.c.). Fue hasta 1790 cuando la asamblea constituyente de Francia, por medio de la academia de Ciencias de Paris, extendió una invitación a los países para enviar a sus hombres de ciencia con el objetivo de unificar los sistemas de pesas y medidas, y adoptar uno solo para todo el mundo.

SISTEMA MÉTRICO DECIMAL.

El primer sistema de unidades bien definido que hubo en el mundo fue el sistema métrico decimal, implantado en 1795 como resultado de la convención mundial de ciencias celebrada en parís, Francia; éste sistema tiene una división decimal y sus unidades fundamentales son: el metro, el kilogramo-peso y el litro. Además, para definir las unidades fundamentales utiliza datos de carácter general, como las dimensiones de la tierra y la densidad del agua.

A fin de encontrar una unidad patrón para medir las longitudes se dividió un meridiano terrestre en 40 millones de partes iguales y se le llamo metro a la longitud de cada parte. Por tanto, definieron al metro como la cuarenta millonésima parte del meridiano terrestre. Una vez establecido el metro como unidad de longitud, sirvió de base para todas las demás unidades que constituyeron al sistema métrico decimal, derivado de la palabra metro que quiere decir medida.

Una ventaja importante del sistema métrico fue su división decimal, ya que mediante el uso de prefijos como deci, centi o mili, que son algunos de los submúltiplos de la unidad, podemos referirnos al decímetro, como la décima parte del metro (0.1m); al centímetro, como centésima parte del metro (0. 01m) y a milímetro, como la milésima parte del metro (0.001 m). Lo mismo sucede para el litro o el kilogramo, de manera que al hablar de prefijos como deca, hecto o kilo, mismos que son algunos de los múltiplos de la unidad, podemos mencionar al decámetro, hectómetro o kilómetros como equivalentes a 10, 100 o 1000 metros respectivamente.

SISTEMA CEGESIMAL O CGS.

En 1881, como resultado del gran desarrollo de la ciencia y por supuesto de la física, se adopta en el Congreso Internacional de los Electricistas, realizado en París Francia, un sistema llamado absoluto; el Sistema Cegesimal o CGS propuesto por el físico alemán Karl Gauss. En dicho sistema las magnitudes fundamentales y las unidades propuestas para las mismas son: para la longitud el centímetro, para la masa el gramo y para el tiempo el segundo. En ese entonces ya se observaba la diferenciación entre los conceptos de masa y peso de un cuerpo, porque tenía claro que el peso era el resultado de la fuerza de atracción gravitacional ejercida por la tierra sobre la masa de los cuerpos.

SISTEMA MKS

En 1935, en el congreso internacional de los electricistas celebrado en Bruselas. Bélgica, el Ingeniero italiano Giovanni Giorgi propone y logra que se acepte su sistema, también llamado absoluto, pues como magnitud fundamental se habla de la masa y no del peso de los cuerpos; este sistema recibe el nombre de MKS, cuyas iniciales corresponden al metro, al kilogramo y al segundo como unidades de longitud, masa y tiempo respectivamente.

SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI)

En virtud de que en el mundo científico se buscaba uniformidad en un solo sistema de unidades que resultará práctico, claro y acorde con los avances de la ciencia, en 1960 científicos y técnicos de todo el mundo se reunieron en Ginebra, Suiza, y acordaron adoptar el llamado Sistema Internacional de Unidades (SI). Este sistema se basa en el llamado MKS, cuyas iniciales corresponden a metro, kilogramo y segundo. El sistema Internacional establece que son siete magnitudes fundamentales mismas que señalaremos en seguida, con sus respectivas unidades de medida: para longitud al metro (m), para masa al kilogramo (kg), para tiempo al segundo (s), para temperatura al kelvin (k), para intensidad de corriente eléctrica al ampere (A), para intensidad luminosa la candela (cd) y para cantidad de sustancia al mol.

1.1 Sistema Internacional de Unidades

El Sistema Internacional de Unidades, abreviado SI, también denominado Sistema Internacional de Medidas, es el nombre que recibe el sistema de unidades que se usa en la mayoría de los países y es la forma actual del sistema métrico decimal.

Fue creado en 1960 por la Conferencia General de Pesos y Medidas, que inicialmente definió seis unidades físicas básicas. En 1971, fue añadida la séptima unidad básica, el mol.

Este sistema se basa en el llamado MKS, cuyas iniciales corresponden a metro, kilogramo y segundo.

Existe una clasificación del Sistema Internacional de Unidades en:

a) Unidades Básicas

:

b) Unidades Derivadas.

.

CONVERSIÓN DE UNIDADES

Aunque el Sistema Internacional es el más aceptado es importante que aprendas a expresar la misma cantidad en los diferentes sistemas. Para convertir unidades vamos a utilizar el principio de cancelación como se muestra a continuación:

Convertir 60km/h a m/s

Primer paso: escribe la cantidad y abre un factor de conversion por cada unidad que vas a cambiar y en el factor acomoda las unidades, recuerda que vas a utilizar el principio de cancelación, por lo tanto la unidad que vas a cancelar la debes invertir el factor, es decir, si inicialmente esta en el numerador, dentro del factor la deberás poner en el denominador y viceversa.

60 km/h ((m))/km ((h))/s=

Segundo paso: identifica las equivalencias para este par de unidades y escríbela en el factor de conversión. Escribe las equivalencias una para cada factor es suficiente y acomódalas en los factores de conversión.

60 km/h ((100m))/1km ((1h))/3600s= 60000m/3600s=16.67 m/s

1km= 1000m

1h= 3600s

Ejemplo: ¿estas acelerando?

En una autopista interestatal rural de Wyoming, un automóvil viaja con una rapidez de 38.0 m/s. ¿El conductor rebaso el límite de velocidad de 75.0 mi/h?

Solución

De la rapidez en m/s convierta en millas

(38.0 m/s)((1 mi)/1609m)=2.36 x 〖10〗^(-2) mi/s

Convierta segundos a horas

(2.36 x 〖10〗^(-2) mi/s)(60s/1m)(60m/1h)=85.0 mi/h

En efecto, el conductor rebaso el límite de velocidad y debe reducirla. ¿Qué pasaría si? ¿Y si el conductor viniese de fuera de Estados Unidos y estuviera familiarizado con magnitudes de velocidad en medidas de km/h? ¿Cuál es la rapidez del automóvil en km/h?

Respuesta: se puede convertir la respuesta final a las unidades adecuadas:

85 mi/h (1.609 km/mi)=137 km/h

Tabla 1: Equivalencias entre unidades

Longitud

centímetro metro kilometro pulgada pie

Centímetro 1 .01 〖1 x 10〗^(-5) 0.3937 0.03281

Metro 100 1 .001 34.37 3.281

Kilometro 1 x〖10〗^5 1000 1 3.93 x〖10〗^4 3281

Pulgada 2.54 0.0254 〖2.54 x 10〗^(-5) 1 0.0833

Pie 30.48 0.3048 〖3.048 x 10〗^(-4) 1.2 1

Milla 〖 1.609 x 10〗^5 1609 1.609 6.33 x〖10〗^4 5280

Masa

gramo kilogramo Slugg Libra/ masa onza

Gramo 1 .001 〖6.85 x 10〗^(-5) .002 0.0357

Kilogramo 1000 1 0.0685 2.2 35.71

Slugg 〖1.46 x 10〗^4 14.6 1 32.098 521.43

Libra masa 454 0.454 0.0031154 1 16.2

onza 28 .028 0.0019178 .0617 1

Tiempo

Segundo Minuto hora día año

Segundo 1 0.01667 〖2.78 x 10〗^(-4) 〖1.16 x 10〗^(-5) 〖3.17 x 10〗^(-8)

〖3.17 x 10〗^(-8) 60 1 0.01667 〖6.94 x 10〗^(-4) 〖1.9 x 10〗^(-6)

Hora 3600 60 1 0.04167 0.0001141

Día 86400 1440 24 1 0.002738

año 〖3.156 x 10〗^7 〖5.26 x 10〗^5 8766 365.27 1

Suponga que su cabello crece a una preparación de 1/32 pulgadas por día.

Encuentre la proporción en la que crece en nanómetros por segundos. Dado que la distancia entre átomos en una molécula es del orden de .1 nanómetros, su respuesta sugiere cuan rápidamente se ensamblan las capas de átomos en esta síntesis de proteínas.

Convertir 1/32 in/Day a segundos

1in=2.54cm 1d= 86400 s 1/32 in/day's █((2.54 cm) (〖10〗^(-2) m/cm) (〖10〗^9 nm/m)@)/(86400 s/day's)=9.18 nm/s 1m=〖10〗^(-9) nm 1m=100 cm

Un lote rectangular mide 100pies x 150pies. Determine el área de este lote en m^2

A = b x A

1m= 3.28 ft

=150ft (1m/3.28ft) x 100ft (1m/3.28ft)

=150m/3.281 x 100m/3.281=1394.125 m

Un auditor mide 40m x 20m x 12m la densidad del aire es de 1.20 kg/m^3.

¿Cuál es el volumen de la habitación en 〖ft〗^3?

¿cuál es el peso en libras del aire en la habitación?

V=(40m)(20m)(12m)= 9600m^3

V=9600m^3 〖(3.281ft/1m)〗^3

V=338976 〖ft〗^3

P= m/v P=1.20 ( kg)/m^3

m=(120 kg/m^3 )(9600m^3 )=11520 kg

Fg=mg=(11520 kg)(9.8 m/s^2 )=112896 N

1 lb= 4.45 N

=112896 N ((1 lb)/(4.45 N))=25369.88 lb

ACTIVIDAD #1

Realiza las siguientes conversiones.

50 cm a pie

50 cm (0.3281ft/(1 cm))=1.6405 ft

25 kg a slugg

25 kg (0.0685slugg/(1 kg))=1.7125 slugg

80 mi/h a pie/s

(80 mi/h)(5280ft/1mi)=422400 ft/h (1h/3600s)=117.33〖x 10〗^(-5)

6 m/s a km/h

(6 m/s)(.001km/1m)(1s/(2.78〖x 10〗^(-4) h))=0.000002158 km/h

1.43 m/h^2 a 〖km/h〗^2

(1.43 m/s^2 )(.001km/1m)(〖1s〗^2/(0.000007728h^2 ))=185.04 km/h^2

15 kg m/s^2 a gr cm/s^2

(15 (kg m)/s^2 )(1000gr/1kg)(100cm/1m)=1500000 (gr cm)/s^2

TAREA #2

16. Un cargador de mineral mueve 1200 ton/h de una mina a la superficie. Convierta esta relación a libras por segundo, 1ton= 2000lb.

Datos: 1ton=2000lb, 1h=3600s

. =1200 ton/h (2000lb/1ton)(1h/3600s)=666.66 lb/s

17. cuando se imprimio este libro, la deuda nacional estadounidense era de aproximadamente

$8 billones.

a) si se hicieran pagos con una rapidez de $1000 x s, ¿cuantos años tardaría en ser pagada la deuda, si supone que no se cargan intereses?ll

Datos: 1s= 1000 billetes, 〖8 x 10〗^12=8 billones.

8 x 〖10〗^12 billetes (1s/〖1000 billetes 〗^ )= 〖8 x 10〗^9 s

〖8 x 10〗^9 s ((3.17 x〖10〗^(-8))/1s)=253.6 años

18. una pirámide tiene una altura de 481ft y su base cubre una área de 13.0 acres. El volumen de una pirámide esta dado por la expresión v= 1/3 Bh, donde B es el área de la base y h es la altura. Encuentre el volumen de esta pirámide en metros cúbicos. (1 acre= 43560 ft²).

Datos: 13acres ((43560〖ft〗^2))/(1 acre)=566280ft^2 ² h= 481ft V=1/3 Bh B=556280ft² V= 1/3 (566280ft^2 )(481ft)=90793560〖ft〗^3 v=? 90793560〖ft〗^3 ((0.0283m^3)/(1ft^3 ))=2569457.748m^3 1acre= 43560ft²

MOVIMIENTO RECTILINEO

La rama de la física que se encarga del estudio del movimiento es la mecánica, la cual se divide en dos subramas: La Cinemática y Dinámica; la primera describe los diferentes tipos de movimiento sin detenerse a analizar el por qué ocurre y la segunda analiza el por qué ocurre.

Para nuestro estudio cinemático, los cambios de posición serán ubicados en un sistema de coordenadas cartesianas. Así el movimiento de una dimensión se orienta a lo largo de uno de los ejes, quedando referenciados la posición inicial y final respecto al origen del sistema.

En el movimiento rectilíneo, es la trayectoria que describe el móvil de una línea recta. Algunos tipos notables de movimiento rectilíneo son los siguientes:

Movimiento rectilíneo uniforme: cuando la velocidad es constante.

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado: cuando la aceleración es constante.

Movimiento armónico simple unidimensional: cuando la aceleración es directamente proporcional a la elongación (distancia a la posición de equilibrio) y está siempre dirigida hacia la posición de equilibrio.

Problemas o ejercicios sobre el movimiento rectilíneo uniforme:

Ejercicio 1

Un automóvil se desplaza con una rapidez de 30 m por segundo, con movimiento rectilíneo uniforme. Calcule la distancia que recorrerá en 12 segundos.

Analicemos los datos que nos dan:

Apliquemos la fórmula conocida:

y reemplacemos con los datos conocidos:

¿Qué hicimos? Para calcular la distancia (d), valor desconocido, multiplicamos la rapidez (v) por el tiempo (t), simplificamos la unidad segundos y nos queda el resultado final en metros recorridos en 12 segundos: 360 metros

Ejercicio 2

El automóvil de la figura se desplaza con movimiento rectilíneo uniforme ¿cuánto demorará en recorrer 258 kilómetros si se mueve con una rapidez de 86 kilómetros por hora?

Analicemos los datos que nos dan:

Apliquemos la fórmula conocida para calcular el tiempo:

y reemplacemos con los datos que tenemos:

¿Qué hicimos? Para calcular el tiempo (t), valor desconocido, dividimos la distancia (d) por la rapidez (v), simplificamos la unidad kilómetros y nos queda el resultado final en horas: 3 horas para recorrer 258 km con una rapidez de 86 km a la hora.

Ejercicio 3

¿Con qué rapidez se desplaza un móvil que recorre 774 metros en 59 segundos?

Analicemos los datos conocidos:

Aplicamos la fórmula conocida para calcular la rapidez:

¿Qué hicimos? Para calcular la rapidez (v), valor desconocido, dividimos la distancia (d) por el tiempo (t), y nos queda el resultado final: la rapidez del móvil para recorrer 774 metros en 59 segundos: 13,11 metros por segundo.

1.2.1-Desplazamiento, Velocidad y Aceleración

Hasta ahora, solamente hemos considerado como medida de la amplitud de la vibración de un objeto el desplazamiento.

El desplazamiento es sencillamente la distancia al objeto desde una posición de referencia o punto de equilibrio. Aparte de un desplazamiento variable, un objeto vibrando presenta una velocidad variable y una aceleración variable. La velocidad se define como la proporción de cambio en el desplazamiento y se mide por lo general en in/s (pulgadas por segundo) o mm/s. La aceleración se define como la proporción de cambio en la velocidad y se mide en g (la aceleración promedio debida a la gravedad en la superficie de la tierra) o mm/s².

Como hemos visto, el desplazamiento de un cuerpo que está sometido a un movimiento armónico simple es una onda sinusoidal. También la velocidad y la aceleración del movimiento son ondas sinusoidales. Cuando el desplazamiento está en su máximo, la velocidad vale cero, porque esa es la posición en la que la dirección del movimiento se invierte. Cuando el desplazamiento vale cero (en el punto de equilibrio), la velocidad estará en su máximo. Esto quiere decir que la fase de la onda de velocidad se desplazará hacia la izquierda 90 grados, comparada con la forma de onda del desplazamiento. En otras palabras, la velocidad está adelantada 90 grados con respecto al desplazamiento. La aceleración es la proporción del cambio de velocidad. Cuando la velocidad está en su máximo, la aceleración vale cero ya que la velocidad no cambia en ese momento. Cuando la velocidad vale cero, la aceleración está en su máximo en ese momento dado que es cuando más rápido cambia la velocidad. La curva sinusoidal de la aceleración en función del tiempo se puede ver de esta manera como desplazada en fase hacia la izquierda respecto a la curva de velocidad y por eso la aceleración tiene un avance de 90 grados respecto a la velocidad y de 180 grados respecto al desplazamiento.

Figura 17: Desfase entre magnitudes. Figura 18: Magnitudes en frecuencia.

Las unidades de amplitud seleccionadas para expresar cada medida tienen gran influencia en la claridad con la cual se manifiestan los fenómenos vibratorios. Así, según se puede ver en la Figura 18, el desplazamiento muestra sus mayores amplitudes en bajas frecuencias (típicamente por debajo de 10 Hz), la velocidad lo hace en un rango intermedio de frecuencias (entre 10 y 1.000 Hz), y la aceleración se manifiesta mejor a altas frecuencias (por encima de 1.000 Hz).

Para ilustrar estas relaciones, consideremos lo fácil que resulta mover la mano una distancia de un palmo a un ciclo por segundo o 1 Hz. Probablemente sería posible lograr un desplazamiento similar de la mano a 5 o a 6 Hz. Pero consideremos la velocidad con que se debería mover la mano para lograr el mismo desplazamiento de un palmo a 100 Hz o 1.000 Hz. Esta es la razón por la que nunca se ven niveles de frecuencia altos combinados con valores de desplazamiento altos. Las fuerzas enormes que serían necesarias sencillamente no se dan en la práctica.

En la Figura 19 se presenta un gráfico con el comportamiento de las distintas unidades de amplitud en todo el rango de frecuencias. Los tres espectros proporcionan la misma información, pero su énfasis ha cambiado. La curva de desplazamiento es más difícil de leer en las frecuencias más altas. La curva de velocidad es la más uniforme en todo el rango de frecuencias. Esto es el comportamiento típico para la mayoría de la maquinaria rotativa pero, sin embargo, en algunos casos las curvas de desplazamiento y aceleración serán las más uniformes. Es una buena idea seleccionar las unidades de tal manera que se obtenga la curva más plana. Eso proporciona la mayor cantidad de información visual al observador. El parámetro de vibración que se utiliza más comúnmente en trabajos de diagnóstico de maquinaria es la velocidad.

Por ultimo, ilustraremos lo dicho con el caso práctico de la Figura 20 donde se muestra un mismo espectro en unidades de desplazamiento y aceleración. Ambas gráficas corresponden a un deterioro de un rodamiento. En el espectro en desplazamiento no se observa el problema, mientras que en el espectro en aceleración se observa claramente.

Ejemplo 1: La aceleración positiva

Un camión de bomberos aumenta su velocidad de 0 a 21 m/s hacia el Este, en 3.5 segundos. ¿Cuál es su aceleración?

Dado:

Velocidad inicial (Vi): 0 m/s

Velocidad final (Vf): 21 m/s, Este

Tiempo (t): 3.5 segundos

Desconocida: Aceleración a=?

Ecuación básica:

Solución:

Respuesta: Para indicar la aceleración debes indicar también la dirección. Como el objeto se mueve hacia el este la respuesta es: 6m/s² , Este

El resultado indica que por cada segundo que transcurre, la velocidad del auto aumenta por 6.0 m/s.

Ejemplo 2: La aceleración negativa

Un automóvil reduce su velocidad de 21m/s, Este a 7 m/s, Este, en 3.5.0 segundos. ¿Cuál es su aceleración?

Dado:

Velocidad inicial (Vi): 21 m/s, Este

Velocidad final (Vf): 7 m/s, Este

Tiempo (t): 3.5 segundos

Desconocida: Aceleración=?

Ecuación básica:

Solución:

Debemos considerar la dirección por lo que la respuesta de la pregunta es: -4m/s² , Este. El resultado indica que por cada segundo que transcurre, la velocidad del auto disminuye por 4 m/s. Fíjate que el auto va hacia el este y al la aceleración ser negativa, implica que el auto desacelera.

Ejemplo 3: La velocidad final bajo aceleración uniforme

Usando la ecuación de aceleración para determinar velocidad final.

Una pelota rueda por una cuesta inclinada durante 5 segundos, a una aceleración de 8 m/s². Si la pelota tiene una velocidad inicial de 2.0 m/s cuando comienza su recorrido, ¿Cuál será su velocidad al final del recorrido?

Dado:

Velocidad inicial (Vi): 2 m/s, bajando

Aceleración (a): 8 m/s², bajando

Tiempo (t): 5 segundos

Desconocida: Velocidad final (Vf) = ?

Ecuación básica:

Despeja para la desconocida que es la velocidad final:

Solución:

El resultado indica que la velocidad ira aumentando hasta alcanzar una velocidad de 42 m/s, bajando llegados los cinco segundos en movimiento.

1.2.2-MOVIMIENTO UNIFORME Y UNIFORMEMENTE ACELERADO

En la mayoría de los casos, la Velocidad de un objeto cambia a medida que el movimiento evoluciona. A éste tipo de Movimiento se le denomina Movimiento Uniformemente Acelerado.

ACELERACIÓN: La Aceleración es el cambio de velocidad al tiempo transcurrido en un punto A a B. Su abreviatura es a.

VELOCIDAD INICIAL (Vo) : Es la Velocidad que tiene un cuerpo al iniciar su movimiento en un período de tiempo.

VELOCIDAD FINAL (Vf) : Es la Velocidad que tiene un cuerpo al finalizar su movimiento en un período de tiempo.

Un modo de describir y estudiar los movimientos es mediante gráficas que representan distancia-tiempo (distancia en función del tiempo), velocidad-tiempo (velocidad en función del tiempo) y aceleración-tiempo (aceleración en función del tiempo).

Debemos anotar que los vocablos distancia, espacio y desplazamiento se usan como sinónimos.

Espacio (distancia o desplazamiento) en función del tiempo

El espacio (distancia o desplazamiento) recorrido en un Movimiento Uniformemente Acelerado (MUA) puede representarse en función del tiempo. La gráfica es una parábola cóncava ascendente.

Independientemente de la forma de la parábola (cóncava o convexa en la gráfica) del movimiento los espacios que recorre el móvil son siempre positivos.

Velocidad en función del tiempo

En un Movimiento Uniformemente Acelerado (MUA) la velocidad varía proporcionalmente al tiempo, por lo que la representación gráfica v-t (velocidad en función del tiempo) es una recta ascendente.

Aceleración en función del tiempo

Tal como lo dice su nombre, en el Movimiento uniformemente acelerado la aceleración es constante, por lo que la gráfica a-t (aceleración en función del tiempo) es una recta paralela al eje del tiempo, por encima de esta (la fuerza responsable de la aceleración es constante).

Gráfica de la aceleración en función del tiempo para un cuerpo sometido a un movimiento uniformemente acelerado.

Movimiento rectilíneo uniformemente retardado

En los movimientos uniformemente decelerados o retardados la velocidad disminuye con el tiempo de manera constante. Están, pues, dotados de una aceleración que aunque negativa es constante (la fuerza responsable de la deceleración es constante).

Por ello, todas las fórmulas cinemáticas usadas para los movimientos uniformemente acelerados sirvan para describir los movimientos uniformemente retardados, sólo que en estos casos llevan el signo negativo.

Espacio (distancia o desplazamiento) en función del tiempo

En los movimientos decelerados, la gráfica espacio-tiempo crece con el tiempo, pero cada vez más lentamente. La gráfica que lo representa es una parábola convexa descendente.

Velocidad en función del tiempo

En un movimiento uniformemente decelerado o retardado su pendiente disminuye de un modo uniforme, lo que da lugar a una gráfica velocidad-tiempo decreciente y rectilínea.

Deceleración en función del tiempo

En este tipo de movimientos la deceleración es constante, por lo que la gráfica a-t (en este caso deceleración en función del tiempo) es una recta paralela al eje del tiempo, por debajo de esta.

Un cuerpo que asciende

Veamos un ejemplo gráfico de un movimiento uniformemente decelerado.

Un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba con velocidad inicial de 60 m/s ¿Cuál es la altura máxima que puede alcanzar?

La representación gráfica rapidez-tiempo es la siguiente:

Gráfica rapidez-tiempo para un cuerpo que asciende con una rapidez inicial de 60 m/s

¿Cómo se explica esta representación?

Veamos:

La rapidez inicial es de 60 m/s, la cual empieza a disminuir a medida que pasa el tiempo.

¿Por qué disminuye? Por influencia de la aceleración de gravedad que, redondeando, es de 10 m/s (ahora con signo negativo), entonces en cada segundo se produce una disminución de 10 m/s en la rapidez.

Aquí se puede colegir que un cuerpo que asciende con una velocidad de 60 m/s tarda exactamente 6 segundos en alcanzar la altura máxima donde se detiene por un instante antes de empezar a caer.

Al hacerlo, está partiendo de cero, y ahora su rapidez empieza a aumentar a razón de 10 m/s cada segundo, en 6 segundo alcanzará una velocidad de 60 m/s.

Esto nos demuestra que los dos movimientos son simétricos; es decir, que podemos utilizar las mismas reglas que para el caso de la caída.

De la última formula se pueden despejar todas las variables, para aplicarlas según sean los casos que puedan presentarse. A partir de ello, se dice que tenemos las siguientes Fórmulas de Aceleración:

Dependiendo el problema a resolver y las variables a conocer, se irán deduciendo otras fórmulas para la solución de problemas. Siendo éstas, las principales para cualquier situación que se dé.

a) Un camión de Mudanza viajó 640 millas en un recorrido de Atlanta a Nueva York. El Viaje total duró 14 horas, pero el conductor hizo dos escalas de 30 minutos para su alimentación. Cuál fue la Aceleración Promedio durante el viaje?

1. Para empezar a resolver cualquier problema siempre es importante para mayor resolución, detallar los datos que conocemos:

d = 640 Millas

t = 14 Horas

a = ?

También mencionar que cuando un objeto está en reposo, la Vo equivale a 0, y si la Velocidad es constante la Aceleración es igual a 0. (Tener en cuenta éstos dos puntos).

Al principio del problema se nos describe que el conductor hizo dos escalas, cada una de 30 minutos por lo que suman 1 hora, entonces, restamos las 14 horas – 1 hora = 13 horas. Éste tiempo lo convertimos en Segundos para tener las mismas unidades.

4. Ahora procedemos a sustituir valores en la fórmula:

EJEMPLOS:

Empezamos a detallar los datos que tenemos:

1.

2. Tenemos todos los datos necesarios para ocupar la fórmula:

En éste caso, ¿por qué encontramos Aceleración Promedio y no una Aceleración Normal? Bueno en el problema se nos detalla que la posición inicial de la Flecha es de martillado, por lo que se asume que está en reposo, es decir, que la Velocidad Inicial es de “0”. Por lo que la fórmula nos quedaría así:

Los datos que tenemos son los siguientes:

1.

2. Despejando la Fórmula nos quedaría así:

3. Ahora, la Velocidad Inicial tenemos que convertirla a las unidades requeridas:

4. Ahora sustituimos valores en la Fórmula despejada:

Detallamos las Variables que tenemos:

1.

2. Utilizamos la Fórmula y sustituimos valores, cómo en el caso anterior:

3. Conociendo ya la Velocidad Final, procedemos a encontrar la d, por

medio de la Fórmula:

Datos asignados y a conocer:

1.

Por qué la Velocidad Final es 0?

Bueno el Tren va con una velocidad inicial, pero al frenar se encuentra en reposo, es decir, cambia de movimiento a estático, por lo que su velocidad final es 0.

2. Utilizamos la Fórmula:

Sustituimos Valores:

¿Por qué la Aceleración es Negativa?

Debido a que el Tren va frenando, su aceleración es contrario al movimiento de la máquina, ya que está realizando una fuerza negativa que hace que ésta sea también negativa.

3. Procedemos a encontrar la Distancia:

1.2.3- MOVIMIENTO RELATIVO.

El movimiento siempre es un concepto relativo porque debe referirse a un sistema de referencia o referencial particular escogido por el observador. Puesto que diferentes observadores pueden utilizar referenciales distintos, es importante relacionar las observaciones realizadas por aquellos.

Una partícula se encuentra en movimiento en un referencial si su posición con respecto a él cambia en el transcurso del tiempo; en caso contrario, la partícula está en reposo en dicho referencial. De estas definiciones, vemos que tanto el concepto de movimiento como el de reposo son relativos. Así, el pasajero que está sentado en un vagón de ferrocarril se encuentra en reposo con respecto al vagón; pero como el tren se mueve con respecto a la Tierra, el pasajero se encuentra en movimiento con respecto a los árboles que observa desde el tren. A su vez, esos árboles están en reposo respecto de la Tierra, pero en movimiento respecto del pasajero del tren.

A efectos prácticos, podemos distinguir dos modalidades de movimiento relativo:

Movimiento relativo entre dos partículas en un mismo referencial.

Movimiento relativo de una partícula en dos referenciales diferentes en movimiento relativo entre sí.

Movimiento relativo entre dos partículas en movimiento respecto a un mismo referencial xyz

Consideremos dos partículas, A y B, que se mueven en el espacio y sean y sus vectores de posición con respecto al origen O de un referencial dado. Las velocidades de A y B medidas en ese referencial serán

Los vectores de posición (relativa) de la partícula B con respecto a la A y de la A con respecto a la B están definidos por

y las velocidades (relativas) de B con respecto a A y de A con respecto a B son

Puesto que , también resulta que , de modo que las velocidades relativas de B con respecto a A y de A con respecto a B son iguales y opuestas.

Efectuando las derivadas (3), resulta

o sea que

de modo que obtendremos la velocidad relativa entre las dos partículas restando vectorialmente sus velocidades con respecto a un mismo referencial (Oxyz en la figura).

Derivando de nuevo las expresiones (5) tenemos para las aceleraciones relativas

Los primeros miembros de (6) son las aceleraciones relativas de B con respecto a A y de A con respecto a B. Los otros términos son las aceleraciones de A y de B con respecto a un mismo observador Oxyz.

Tenemos

siguiéndose para las aceleraciones relativas la misma regla que para las velocidades.

Movimiento relativo de una partícula en dos referenciales

Sistema de referencia fijo o absoluto (XYZ) y sistema de referencia móvil o relativo (xyz) en movimiento general (rototraslatorio) respecto al referencial absoluto.

En este caso, el movimiento relativo hace referencia al que presenta una partícula con respecto a un sistema de referencia (xyz), llamado referencial relativo o móvil por estar en movimiento con respecto a otro sistema de referencia (XYZ) considerado como referencial absoluto o fijo.

El movimiento de un referencial respecto al otro puede ser una traslación, una rotación o una combinación de ambas (movimiento rototraslatorio).

Velocidad

La velocidad de una partícula en un referencial fijo o absoluto y su velocidad en un referencial móvil o relativo están relacionadas mediante esta expresión:

(1)

siendo:

la velocidad de la partícula en el referencial fijo (velocidad absoluta).

la velocidad de la partícula en el referencial móvil (velocidad relativa),

la velocidad del origen del referencial móvil en el referencial fijo (arrastre de traslación),

la velocidad angular del referencial móvil respecto del referencial fijo (velocidad angular de arrastre),

la velocidad de arrastre de rotación.

Los dos últimos términos representan la velocidad de arrastre total, de modo que podemos escribir

que coincide con la velocidad correspondiente un punto de un sólido rígido en movimiento.

Podemos expresar la velocidad de la partícula en el referencial fijo en la forma

Aceleración

La aceleración de una partícula en un referencial fijo o absoluto y su aceleración en un referencial móvil o relativo están relacionadas mediante la expresión:

(1)

siendo:

la aceleración de la partícula en el referencial fijo (aceleración absoluta).

la aceleración de la partícula en el referencial móvil (aceleración relativa),

la velocidad de la partícula en el referencial móvil (velocidad relativa),

la aceleración del origen del referencial móvil en el referencial fijo (arrastre de traslación),

la aceleración tangencial (arrastre de rotación),

Problemas:

Problema 1

Un río fluye hacia el norte con velocidad de 3 km/h. Un bote se dirige al Este con velocidad relativa al agua de 4 km/h.

Calcular la velocidad del bote respecto de tierra.

Si el río tiene 1 km de anchura, calcular el tiempo necesario para cruzarlo.

¿Cuál es la desviación hacia el norte del bote cuando llega a la otra orilla del río?

Solución

Velocidad del bote respecto a tierra

v=32+42−−−−−−√=5 km/h  θ=arctan43=53.1º

Tiempo para cruzar el río t=1/4 hora

Desviación, x=3•1/4=3/4 km=750 m, o bien x=1•tanθ =3/4 km

Problema 2

Una bandera situada en el mástil de un bote flamea haciendo un ángulo de 45º como se muestra en la figura. pero la bandera situada en la casa flamea haciendo un ángulo de 30º. Si la velocidad del bote es de 10 km/h hacia el norte.

Calcular la velocidad del viento

Solución

Velocidad del bote VB

Velocidad del aire VA

Velocidad del aire respecto del bote VAB

Como vemos en la figura VA=VB+VAB

vAB=−vABcos45i−vABsin45jvB=        10jvA=−vAcos30i−vAsin30j{−vABcos45=−vAcos30−vABsin45+10=−vAsin30vA=203√−1=27.3 km/h

Problema 3

Un avión vuela desde un punto A a otro B que se encuentra a 3000 km de distancia en la dirección Este. El viento sopla en la dirección S 30º E con velocidad de 80 km/h, y la velocidad del avión es de 600 km/h. Determinar el tiempo de vuelo del avión entre las dos localidades.

Solución

Velocidad del viento VB

Velocidad del avión respecto a tierra VA

Velocidad del avión respecto del viento VAB

Como vemos en la figura VA=VB+VAB

{vAB=600cosθi+600sinθjvB=80sin30⋅i−80cos30⋅j  vA=vAi{vA=600cosθ+80sin300=600sinθ−80cos30vA=636 km/h  θ=6.6ºt=3000vA=4.7 h

1.2.4 CAIDA LIBRE DE CUERPOS

Un cuerpo es lanzado desde el techo de un edificio de altura x0 con velocidad v0, determinar las ecuaciones del movimiento, la altura máxima y el tiempo que tarda el cuerpo en alcanzar el origen.

En primer lugar, establecemos el origen y la dirección del movimiento, el eje X. Después, los valores de la posición inicial y los valores y signos de la velocidad inicial, y de la aceleración, tal como se indica en la figura. Resultando las siguientes ecuaciones del movimiento.

Cuando alcanza la altura máxima, la velocidad del móvil es cero. De la ecuación de la velocidad, se obtiene el tiempo que transcurre desde que se lanza hasta que llega a dicha posición. El tiempo transcurrido se sustituye en la ecuación de la posición, obteniéndose la máxima altura que alcanza el móvil medida desde el suelo.

El tiempo que tarda en llegar al suelo, se obtiene a partir de la ecuación de la posición, poniendo x=0, resolviendo una ecuación de segundo grado.

Nota: como podrá comprobar el lector, la solución del problema es independiente de la situación del origen. Si colocamos el origen en el punto de lanzamiento, la posición inicial x0 es cero, pero el suelo se encuentra en la posición -x0 respecto de dicho origen, resultando la misma ecuación. La altura máxima se calcula ahora desde el techo del edificio, no desde el origen.

Signo de la aceleración:

Si el eje X apunta hacia arriba la aceleración de la gravedad vale a=-g, g=9.8 ó 10 m/s2

Signo de la velocidad inicial:

Si el eje X apunta hacia arriba y el cuerpo es inicialmente lanzado hacia arriba el signo de la velocidad inicial es positivo, en caso de ser lanzado hacia abajo el signo es negativo

Situación del origen:

Se acostumbra a poner en el origen, en el punto en el que es lanzado el móvil en el instante inicial. Esto no tiene que ser siempre así, si un cuerpo es lanzado desde el techo de un edificio podemos situar el origen en el suelo, la posición inicial del móvil correspondería a la altura del edificio h.

Si situamos el origen en el techo del edificio y lanzamos el móvil desde el suelo, la posición inicial sería -h.

PROBLEMAS DE CAIDA LIBRES DE CUERPO

1.- Una piedra lanzada hacia arriba tarda 2.8 seg en el aire antes de chocar contra el piso a) ¿Hasta que altura subió? b) ¿Con qué velocidad llega al piso?

Datos

t = 2.8 seg

h =?

V1 =?

g = 9.8 m/s2

h ½ g.t2

h ½ (9.8 m/s2)(1.4 seg)2

h ½ (9.8 m/s2)(1.96 seg)

h = 9.604 m

vf = a.t

vf = g.t

vf = (9.8 m/s2)(1.4 seg)

vf = 13.72 m/s

2.- Se deja caer una moneda desde la azotea del edificio de 50 m de altura a) ¿En cuánto tiempo recorre la mitad de altura? b) ¿A qué altura respecto del piso se encuentra a los 3 seg de haberse soltado? c) ¿Cuál es su velocidad en ese punto?

Datos

h = 50 m

t =?

h =?

T = 3 seg

V = 3

g = 9.8 m/s2

v = g.t

v = (9.8 m/s2) (3 seg)

v = 29.4 m/s

h = ½ g.t2

h = ½ (9.8 m/s2)(3 seg)

h = 14.7 m/s

t = 2h

g

t = 2

9.8

3.- De la azotea de un edificio se deja caer un objeto y tarda 3.1 seg. en chocar contra el piso. a) ¿Qué altura tiene el edificio? b) ¿Con que velocidad choca contra el piso?

Datos

t= 3.1 seg.

g= 9.8 m/S2

h=?

vf=?

h= ½ g.t 2

h= ½ (9.8m/s2) (1.55 seg.)2

h= ½ (9.8 m/s2) (2.402 seg.)2

h= 11.76 m.

Vf = a.t.

Vf = g.t.

Vf = (9.8 m/s2) (1.55 seg.)

Vf = 15.19 m/s

1.3 MOVIMIENTO CURVILINEO

Supongamos que el movimiento tiene lugar en el plano XY, Situamos un origen, y unos ejes, y representamos la trayectoria del móvil, es decir, el conjunto de puntos por los que pasa el móvil. Las magnitudes que describen un movimiento curvilíneo son:

Vector posición r en un instante t.

Como la posición del móvil cambia con el tiempo. En el instante t, el móvil se encuentra en el punto P, o en otras palabras, su vector posición es r y en el instante t' se encuentra en el punto P', su posición viene dada por el vector r'.

Diremos que el móvil se ha desplazado r=r’-r en el intervalo de tiempo t=t'-t. Dicho vector tiene la dirección de la secante que une los puntos P y P'.

Vector velocidad

El vector velocidad media, se define como el cociente entre el vector desplazamiento r y el tiempo que ha empleado en desplazarse t.

El vector velocidad media tiene la misma dirección que el vector desplazamiento, la secante que une los puntos P y P1 cuando se calcula la velocidad media <v1> entre los instantes t y t1.

El vector velocidad en un instante, es el límite del vector velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero.

Como podemos ver en la figura, a medida que hacemos tender el intervalo de tiempo a cero, la dirección del vector velocidad media, la recta secante que une sucesivamente los puntos P, con los puntos P1, P2....., tiende hacia la tangente a la trayectoria en el punto P.

En el instante t, el móvil se encuentra en P y tiene una velocidad v cuya dirección es tangente a la trayectoria en dicho punto.

Vector aceleración

En el instante t el móvil se encuentra en P y tiene una velocidad v cuya dirección es tangente a la trayectoria en dicho punto.

En el instante t' el móvil se encuentra en el punto P' y tiene una velocidad v'.

El móvil ha cambiado, en general, su velocidad tanto en módulo como en dirección, en la cantidad dada por el vector diferencia v=v’-v.

Se define la aceleración media como el cociente entre el vector cambio de velocidad v y el intervalo de tiempo t=t'-t, en el que tiene lugar dicho cambio.

Y la aceleración a en un instante

Resumiendo, las ecuaciones del movimiento curvilíneo en el plano XY son

EJEMPLOS DE MOVIMIENTO CURVILINEO

1.- ¿Cuáles son las componentes vertical y horizontal de un proyectil que se lanza desde un avión que viaja a una velocidad de 1000 km/h, si una vez lanzado, tarda en llegar 8 segundos al suelo?

VoH = es igual a la velocidad del avión (1000 km/h).

Vv = gt

Vv = 9.8 m/seg2 x 8 seg = 78.4 m/seg.

78.4 m/seg x 1 km/1000 m x 3600 seg/ 1 h = 282.24 km/h.

2.- ¿Cuáles son las compoenentes vertical y horizontal de una piedra que es lanzada con una velocidad de 25 m/seg, si cae al suelo después de 5 segundos de ser lanzada?

VoH = es igual a la velocidad con que es lanzada la piedra 25 m/seg.

Vv = gt

Vv = 9.8 m/seg2 x 5 seg = 49 m/seg.

3.- Una pelota de golf es golpeada con una velocidad inicial de 50 m/seg con un ángulo de 30° respecto a la horizontal. ¿Cuáles son las componentes vertical y horizontal de la velocidad?

VoH = Vo cos θ.

Vov = Vo sen θ.

VoH = 50 m/seg x cos 30°. VoH = 50 m/seg x 0.8660 = 43.3 m/seg.

Vov = 50 m/seg x sen 30°. Vov = 50 m/seg x 0.5 = 25 m/seg.

1.3.1. COMPONENTES RECTANGULARES DE LA VELOCIDAD Y LA ACELERACIÓN.

Las componentes rectangulares de la velocidad y aceleración, se obtienen en el movimiento de proyectiles, tanto para el tiro horizontal, como para el tiro oblicuo.

En el tiro horizontal, al ser un movimiento en dos dimensiones la componente horizontal de la velocidad (Vx) es la misma durante toda la trayectoria del proyectil con la cual es lanzada, y la componente vertical de la velocidad, está dada por la aceleración de la gravedad (9.8 m/seg2.). como se ve en la figura siguiente:

En el tiro oblicuo, al lanzarse el proyectil con un ángulo respecto al eje x, las componentes rectangulares de la velocidad, están dadas por las ecuaciones siguientes:

Vx = Vcos θ.

Vy =Vsen θ.

VoH = constante, Voy, disminuye al ascender el proyectil y aumenta al descender.

EJEMPLOS DE COMPONENTES RECTANGULARES DE LA VELOCIDAD Y LA ACELERACIÓN.

1.- ¿Cuáles son las componentes vertical y horizontal de un proyectil que se lanza desde un avión que viaja a una velocidad de 1000 km/h, si una vez lanzado, tarda en llegar 8 segundos al suelo?

VoH = Es igual a la velocidad del avión (1000 km/h).

Vv = gt

Vv = 9.8 m/seg2 x 8 seg = 78.4 m/seg.

78.4 m/seg x 1 km/1000 m x 3600 seg/ 1 h = 282.24 km/h.

2.- ¿Cuáles son las componentes vertical y horizontal de una piedra que es lanzada horizontalmente con una velocidad de 25 m/seg, si cae al suelo después de 5 segundos de ser lanzada?

VoH = Es igual a la velocidad con que es lanzada la piedra 25 m/seg.

Vv = gt

Vv = 9.8 m/seg2 x 5 seg = 49 m/seg.

3.- Una pelota de golf es golpeada con una velocidad inicial de 50 m/seg con un ángulo de 30° respecto a la horizontal. ¿Cuáles son las componentes vertical y horizontal de la velocidad?

VoH = Vo cos θ.

Vov = Vo sen θ.

VoH = 50 m/seg x cos 30°.

VoH = 50 m/seg x 0.8660 = 43.3 m/seg.

Vov = 50 m/seg x sen 30°.

Vov = 50 m/seg x 0.5 = 25 m/seg.

1.3.2 Movimiento de proyectiles. Tiro parabólico (horizontal y oblicuo).

El tiro parabólico es un ejemplo de movimiento realizado por un cuerpo en dos dimensiones o sobre un plano. Algunos ejemplos de cuerpos cuya trayectoria corresponde a un tiro parabólico son: proyectiles lanzados desde la superficie de la tierra o desde un avión, el de una pelota de fútbol al ser despejada por el portero, o el de una de una pelota de golf al ser lanzada o golpeada con cierto ángulo respecto del eje horizontal.

El tiro parabólico es la resultante de la suma vectorial de un movimiento horizontal uniforme y de un movimiento vertical rectilíneo uniformemente acelerado.

El tiro parabólico es de dos tipos: tiro parabólico horizontal y tiro parabólico oblicuo.

Tiro parabólico horizontal. Se caracteriza por la trayectoria o camino curvo que sigue un cuerpo al ser lanzado horizontalmente al vacío, resultado de dos movimientos independientes: un movimiento horizontal con velocidad constante y otro vertical, el cual se inicia con una velocidad cero y va aumentando en la misma proporción de otro cuerpo que se dejará caer del mismo punto en el mismo instante. La forma de la curva descrita es abierta, simétrica respecto a un eje (eje Y) y con un solo foco, es decir una parábola. Por ejemplo en la figura siguiente, se grafica el descenso al mismo tiempo de dos pelotas, sólo que la pelota del lado derecho es lanzada con una velocidad horizontal de 15 m/seg.

Al término del primer segundo ambas pelotas han recorrido 4.9 metros en su caída, sin embargo, la pelota de la derecha también ha avanzado 15 metros respecto de su posición inicial. A los dos segundos ambas pelotas ya han recorrido en su caída 19.6 metros, pero la pelota de la derecha ya lleva 30 metros recorridos como resultado de su movimiento horizontal. Si se desea calcular la distancia recorrida en forma horizontal puede hacerse con la expresión d = v t pues la pelota lanzada con una velocidad horizontal tendrá una rapidez constante durante su recorrido horizontal e independiente de su movimiento vertical originado por la aceleración de la gravedad durante su caída libre.

La trayectoria descrita por un proyectil cuya caída es desde un avión en movimiento, es otro ejemplo de tiro parabólico horizontal. Supongamos que un avión vuela a 250 m/seg y deja caer un proyectil, en los diferentes momentos de su caída libre, se puede determinar por medio del método del paralelogramo; para ello, basta representar mediante vectores las componentes horizontal y vertical del movimiento. Al primer segundo de su caída la componente vertical tendrá un valor de 9.8 m/seg, mientras la componente horizontal de su velocidad será la misma que llevaba el avión al soltar el proyectil, es decir 250 m/seg. Trazamos el paralelogramo y obtenemos la resultante de las 2 velocidades. A los 2 segundos la componente vertical tiene un valor de 19.6 m/seg y la horizontal como ya señalamos conserva su mismo valor: 250 m/seg. Así continuaríamos hasta que el proyectil llega al suelo.

Las ecuaciones que se utilizan en el tiro horizontal son las mismas de la caída libre. En el tiro horizontal se suele calcular la altura desde la cual se lanza el proyectil, el tiempo que tarda en caer, la velocidad que lleva en un tiempo determinado y la distancia horizontal que recorre desde el punto en que es lanzado hasta el punto donde cae al suelo.

EJEMPLOS TIRO HORIZONTAL

1.- Se lanza una piedra horizontalmente con una velocidad de 25 m/seg desde una altura de 60 metros. Calcular: a) el tiempo que tarda en llegar al suelo, b) la velocidad vertical que lleva a los 2 segundos, c) La distancia horizontal a la que cae la piedra.

Datos Fórmulas Sustitución

____ __________________

VH = 25 m/seg a) t caer = √2h/g t caer = √2 (-60 m)/-9.8 m/seg2.

h = -60 metros b) V2 seg= g t t caer = 3.5 seg

g= - 9.8 m/seg2. V2seg = -9.8 m/seg2x 2 seg

a) t caer =? c) dH= VH t V2 seg= - 19.6 m/seg

b) V2 seg= dH= 25 m/seg x 3.5 seg

c) dH= dH = 87.5 metros.

2.- Una pelota es lanzada horizontalmente desde una ventana con una velocidad inicial de 10 m/seg y cae al suelo después de 5 segundos: Calcular a) ¿ A qué altura se encuentra la ventana? b) ¿A qué distancia cae la pelota?

Datos Fórmulas Sustitución

VH = 10 m/seg a) h = gt2/2 a) h = -9.8 m/seg2x (5 seg)2

t caer = 5 seg b) dH = VHtcaer 2

g = -9.8 m/seg2. a) h = -122.5 metros

a) h = ? b) dH = 10 m/seg x 5 seg

b) dH =? b) dH = 50 metros.

Tiro parabólico oblicuo. Se caracteriza por la trayectoria que sigue un cuerpo cuando es lanzado con una velocidad inicial que forma un ángulo con el eje horizontal.

Resolución de un problema de tiro parabólico.

En el siguiente dibujo vemos la trayectoria seguida por una pelota de golf, lanzada con una velocidad de 40 m/seg formando un ángulo de 60° con respecto a la horizontal.

Como se observa, la pelota inicia si ascenso con una velocidad inicial de 40 m/seg y con un ángulo de 60°, si descomponemos esta velocidad en sus componentes rectangulares, encontraremos el valor de la velocidad vertical que le permite avanzar hacia arriba, como si hubiera sido arrojada en tiro vertical, por esta razón la velocidad disminuye debido a la acción de la gravedad de la tierra, hasta anularse y la pelota alcanza su altura máxima. Después inicia su descenso y la velocidad vertical comienza a aumentar, tal como sucede en un cuerpo en caída libre, de manera que al llegar al suelo nuevamente tendrá la misma velocidad vertical que tenía al iniciar su ascenso. Por otra parte, la componente horizontal nos indica el valor de la velocidad horizontal que le permite desplazarse como lo haría un cuerpo en un movimiento rectilíneo uniforme. Por tal motivo esta velocidad permanecerá constante todo el tiempo que el cuerpo dure en el aire.

Para este problema específico, las componentes vertical y horizontal de la velocidad tienen un valor al inicio de su movimiento de:

Vov = Vo sen 60° = 40 m/seg x 0.8660 = 34.64 m/seg

VH= Vo cos 60° = 40 m/seg x 0.5 = 20 m/seg (permanece constante).

Una vez calculada la componente inicial vertical de la velocidad (Vov) y utilizando las ecuaciones del tiro vertical vistas anteriormente, podemos determinar con facilidad la altura máxima alcanzada por la pelota, el tiempo que tarda en subir, y el tiempo que permanece en el aire; así pues, el valor de la velocidad inicial vertical para la pelota de golf será igual a 34.64 m/seg. Por lo tanto, sustituyendo este valor en la ecuación de la altura máxima tenemos:

hmax = V2ov = (34.64 m/seg)2 = 61.22 metros

2 g 2 (-9.8 m/seg2)

Para calcular el tiempo que tarda en subir la pelota, hacemos uso de la ecuación correspondiente que se dedujo para el tiro vertical, sustituyendo el valor de la componente inicial vertical:

t (subir) = - Vov/g= - 34.64 m/seg/ -9.8 m/seg2.= 3.53 seg

El tiempo que dura en el aire es igual al doble del tiempo que tarda en subir:

t (aire) = - 2 Vov/g, por lo que t (aire) = 2 x 3.53 seg = 7.06 seg

Para conocer el alcance horizontal dH de la pelota, debemos considerar que mientras esté en el aire se mueve en esa dirección debido al valor de la componente horizontal de la velocidad, la cual no varía y en nuestro caso tiene un valor de 20 m/seg, por lo tanto, para calcular dH emplearemos la expresión:

dH = VH t(aire) = 20 m/seg x 7.06 seg = 141.3 metros.

El desplazamiento horizontal tsmbién puede ser calculado con la siguiente ecuación:

dH = - Vo2 sen 2 θ Sustituyendo valores tenemos – (40 m/seg)2 sen 2 (60°) =

g - 9.8 m/seg2.

dH = 141.3 metros (resultado igual al anterior).

La ecuación anterior resulta útil cuando se desea hallar el ángulo con el cual debe ser lanzado un proyectil que parte con un determinado valor de velocidad para dar en el blanco.

EJEMPLOS DE TIRO PARABÓLICO OBLICUO.

1.- Un jugador le pega a una pelota con un ángulo de 37° con respecto al plano horizontal, comunicándole una velocidad inicial de 15 m/seg. Calcular a) e tiempo que dura en el aire, b) La altura máxima alcanzada, c) El alcance horizontal de la pelota.

Datos Fórmulas Sustitución

Vo = 15 m/seg Vov = Vo sen θ Vov = 15 m/seg x sen 37°

θ= 37° VH = Vo cos θ Vov = 15 m/seg x 0.6018

g = -9.8 m/seg2. t (aire) = - 2Vov/g Vov = 9.027 m/seg

t (aire) = h max = - V2ov/2g VH = 15 m/se x cos 37°

h max= dH = VH t (aire) VH = 15 m/seg x 0.7986

dH= VH = 11.979 m/seg

t aire= - 2 (9.027 m/seg)

-9.8 m/seg2.

t aire = 1.842 seg

h max = - (9.027 m/seg)2 =

2 (- 9.8 m/seg2.)

h max = 4.157 metros

dH = 11.979 m/seg x 1.842 seg

dH = 22.06 metros

2.- Un proyectil se lanza con una velocidad inicial de 200 m/seg si se desea que dé en un blanco localizado a 2500 metros, calcular: a) El ángulo con el cual debe ser lanzado b) el tiempo que tarda en llegar al blanco (tiempo en el aire).

Datos Fórmulas Sustitución

Vo = 200 m/seg - sen 2 θ= dHg - sen 2 θ= 2500 m x(- 9.8 m/seg2).

dH = 2500 m Vo2. (200 m/seg)2.

g = -9.8 m/seg2. Vov = Vo sen θ sen 2 θ = 0.6127

a) θ= t (aire)= -2Vov 2 θ = ángulo cuyo seno es 0.6127

b) t aire =? g 2 θ= 37.76°

θ= 18.88°

Vov = 200 m/seg x sen 18.88°

Vov = 200 m/seg x 0.3230= 64.6 m/seg

t (aire) = - 2 x 64.6 m/seg = 13.18 seg

- 9.8 m/seg2.

1.3.3. COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL DE LA VELOCIDAD Y LA ACELERACIÓN

Las componentes rectangulares de la aceleración no tienen significado físico, pero si lo tienen las componentes de la aceleración en un nuevo sistema de referencia formado por la tangente a la trayectoria y la normal a la misma.

Hallar las componentes tangencial y normal de la aceleración en un determinado instante es un simple problema de geometría, tal como se ve en la figura.

• Se dibujan los ejes horizontal X y vertical Y.

• Se calculan las componentes rectangulares de la velocidad y de la aceleración en dicho instante. Se representan los vectores velocidad y aceleración en dicho sistema de referencia.

• Se dibujan los nuevos ejes, la dirección tangencial es la misma que la dirección de la velocidad, la dirección normal es perpendicular a la dirección tangencial.

• Con la regla y el color se proyecta el vector aceleración sobre la dirección tangencial y sobre la dirección normal.

• Se determina el ángulo θ entre el vector velocidad y el vector aceleración, y se calcula el valor numérico de dichas componentes: at=a cosθ y an=a senθ

EJEMPLOS COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL DE LA VELOCIDAD Y LA ACELERACIÓN

1. Calcular el valor de la velocidad lineal de una partícula cuyo radio de giro es de 25 cm. y tiene un periodo de 0.01 s. Dar el resultado en cm/s y m/s.

Datos Fórmula

V L =? V L = 2 πr

r = 25 cm. T

T = 0.01 seg.

Sustitución y resultado

V L = 2*3.1416x 25cm = 15700 cm/s

0.01 seg = 157 m/s

2. Determinar el valor de la velocidad lineal de una partícula que tiene una velocidad angular de 30 rad/s y su radio de giro es 0.2 m.

Datos fórmula

V L =? V L = ωr

ω= 30 rad/seg.

r = 0.2m

Sustitución y resultado

V L = 30 rad/seg x0.2 m= 6 m/s

3. Calcular el valor de la aceleración lineal de una partícula cuya aceleración angular es de 3 rad/seg2 y su radio de giro es de 0.4 m.

Datos Fórmula

aL =? aL = α r

ά= 30 rad/seg2.

r = 0.4m

Sustitución y resultado

aL = 3 rad/seg2 x 0.4 m= 1.2 m/seg2.

4.- Encontrar el valor de la aceleración radial de una partícula que tiene una velocidad angular de 15 rad/seg y su radio de giro es de 0.2 m.

Datos formula

ar =? a = ω2r

ω = 15 rad/seg.

r = 0.2m

Sustitución y resultado

ar=(15 rad/s)2 * 0.2 m= 45 m/seg2.

5. Calcular los valores de la velocidad angular y lineal de una partícula que gira con un periodo de 0.2 seg, si su radio de giro es de 0.3 m, determinar también los valores de su aceleración lineal y radial, así como la resultante de estas dos aceleraciones.

Datos Fórmulas Sustitución

ω= 2 π ω= 2 x 3.14= 31.4 rad/seg

T 0.2 seg

VL= ωr VL=31.4 rad/s x 0.3m

T=0.2 seg aL=αr VL= 9.42 m/seg.

R=0.3 m α= ω α=31.4 rad/seg=

ω= ? T 0.2 seg

VL=? ar= ω2r α= 157 rad/seg2.

aL=? _______

aR=√aL2+ar2 aL=157 rad/seg2x

ar=? 0.3 m

aR=? aL= 47.1 m/seg2.

ar=(31.4 rad/seg)2 x 0.3 m= 295.78 m/seg2.

____________________________

aR=√(47.1 m/seg2)2 + (295.78 m/seg2)2.

aR= 299.5 m/seg2.

5.-El vector velocidad del movimiento de una partícula viene dado por v=(3t-2)i+(6t2-5)j m/s. Calcular las componentes tangencial y normal de la aceleración en el instante t=2 s. Dibujar el vector velocidad, el vector aceleración y las componentes tangencial y normal en dicho instante.

1. Dadas las componentes de la velocidad obtenemos las componentes de la aceleración:

vx =3t-2 m/s, ax=3 m/s2

vy=6t2-5 m/s, ay=12t m/s

2. Los valores de dichas componentes en el instante t=2 s son:

vx =4 m/s, ax=3 m/s2

vy=19 m/s, ay=24 m/s

3. Dibujamos el vector velocidad y el vector aceleración

4. Calculamos el ángulo θ que forman el vector velocidad y el vector aceleración

• Por el producto escalar: v•a=v•a•cosθ

• Calculando el ángulo que forma cada vector con el eje X, y restando ambos ángulos

5. Se calculan las componentes tangencial y normal de la aceleración

6. at=a•cosθ =24.1 m/s2

an=a•senθ=2.0 m/s

7. Podemos hallar la aceleración tangencial en cualquier instante, a partir del

producto escalar del vector aceleración a y el vector velocidad v.

8. v•a=va•cosθ=v•at

9.

10. at=a•cosθ =24.1 m/s2

an=a•senθ=2.0 m/s

11. Podemos hallar la aceleración tangencial en cualquier instante, a partir del producto escalar del vector aceleración a y el vector velocidad v.

12. v•a=va•cosθ=v•at

Radio de curvatura

En la figura 131-1, se muestra el radio de curvatura y el centro de curvatura de una trayectoria cualesquiera en el instante t. Se dibuja la dirección del vector velocidad v en el instante t, la dirección del vector velocidad v+dv en el instante t+dt. Se trazan rectas perpendiculares a ambas direcciones, que se encuentran en el punto C denominado centro de curvatura. La distancia ente entre la posición del móvil en el instante t, y el centro de curvatura C es el radio de curvatura ρ.

Figura 131-1

En el intervalo de tiempo comprendido entre t y t+dt, la dirección del vector velocidad cambia un ángulo dθ que es el ángulo entre las tangentes o entre las normales. El móvil se desplaza en este intervalo de tiempo un arco ds=ρ•dθ, tal como se aprecia en la figura 131-1.

Otra forma de obtener las componentes tangencial y normal de la aceleración, es la de escribir el vector velocidad v como producto de su módulo v por un vector unitario que tenga su misma dirección y sentido ut=v/v. La derivada de un producto se compone de la suma de dos términos

El primer término, tiene la dirección de la velocidad o del vector unitario ut, es la componente tangencial de la aceleración.

El segundo término, vamos a demostrar que tiene la dirección normal un.

Como vemos en la figura las componentes del vector unitario ut son

Ut=cosθ•i+senθ•j

Su derivada es

El vector aceleración es

Las componentes tangencial y normal de la aceleración valen, respectivamente

Esta última fórmula, la obtuvimos de una forma más simple para una partícula que describía un movimiento circular uniforme.

Como la velocidad es un vector, y un vector tiene módulo y dirección.

Existirá aceleración siempre que cambie con el tiempo bien el módulo de la velocidad, la dirección de la velocidad o ambas cosas a la vez.

• Si solamente cambia el módulo de la velocidad con el tiempo, como en un movimiento rectilíneo, tenemos únicamente aceleración tangencial.

• Si solamente cambia la dirección de la velocidad con el tiempo, pero su módulo permanece constante como en un movimiento circular uniforme, tenemos únicamente aceleración normal.

• Si cambia el módulo y la dirección de la velocidad con el tiempo, como en un tiro parabólico, tendremos aceleración tangencial y aceleración normal.

1.3.4 MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME Y NO UNIFORME

El movimiento circular uniforme es aquel movimiento circular en el que un cuerpo se desplaza alrededor de un punto central, siguiendo la trayectoria de una circunferencia, de tal manera que en tiempos iguales recorra espacios iguales. No se puede decir que la velocidad es constante ya que, al ser una magnitud vectorial, tiene módulo, dirección y sentido: el módulo de la velocidad permanece constante durante todo el movimiento pero la dirección está constantemente cambiando, siendo en todo momento tangente a la trayectoria circular. Esto implica la presencia de una aceleración que, si bien en este caso no varía al módulo de la velocidad, sí varía su dirección.

Desplazamiento angular y velocidad angular

El desplazamiento angular es la longitud del arco de circunferencia por unidad de radio

La longitud del arco y el radio de la circunferencia son magnitudes de longitud, por lo que el desplazamiento angular es una magnitud adimensional, llamada radián.

Un radián es un arco de circunferencia de longitud igual al radio de la circunferencia, y la circunferencia completa tiene 2π radianes.

La velocidad angular es la variación del desplazamiento angular por unidad de tiempo:

Partiendo de estos conceptos se estudian las condiciones del movimiento circular uniforme, en cuanto a su trayectoria y espacio recorrido, velocidad y aceleración, según el modelo físico cinemático.

Sistema de referencia

Se considera un sistema de referencia en el plano XY, con vectores unitarios en el sentido de estos ejes , que es un sistema inercial. Sin pérdida de la generalidad, se toma el centro de giro del movimiento en el origen de coordenadas.

Se toma un segundo sistema de referencia , con el mismo centro de coordenadas, un eje radial que partiendo del centro de coordenadas pasa en todo momento por la posición de la partícula y un eje tangencial que pasando por el centro de coordenadas, es perpendicular al eje radial, cuando el ángulo de giro es cero, el eje x coincide con el radial y el eje y con el tangencial y para un ángulo dado, se cumple:

Trayectoria o vector de posición

La posición de la partícula en función del ángulo de giro y del radio r es en un sistema de referencia cartesiano xy:

El vector de posición de la partícula será:

Al ser un movimiento uniforme, a incrementos de tiempo iguales le corresponden desplazamientos iguales, lo que se traduce en:

Esto es:

Según todo lo anterior el vector de posición de la partícula en función del tiempo es:

Dónde:

: es el vector de posición de la partícula.

: es el radio de giro.

: es la velocidad angular, que es constante en este caso.

: es el tiempo.

Partiendo del vector de posición en el sistema xy, vamos a pasarlo al sistema de coordenadas de versores: , de tal modo que veamos sus componentes en estas coordenadas, la conclusión es muy sencilla y con un poco de ingenio podíamos llegar a ella sin realizar los operaciones, pero hagámoslo de un modo sistemático, por sustitución de los versores de un sistema por los del otro, partimos del vector posición:

Simplificando:

Llegando a la conclusión de que el vector de posición tiene por coordenada el valor del radio, según el vector radial, y no tiene componente tangencial, como ya se ha dicho en un principio esta conclusión es obvia, y por propia intuición se podía haber visto sin realizar los cálculos, pero con este mismo método calcularemos la velocidad y la aceleración y veremos que las conclusiones no son tan evidentes.

Velocidad

Partiendo del vector de posición y de la definición de velocidad:

1.

2.

Tenemos:

Realizando la derivada:

Éste es el vector velocidad, vamos a cambiar de sistemas de coordenadas para conseguir sus componentes según el sistema radial tangencial:

La conclusión es que la velocidad no tiene componente radial y su componente tangencial tiene por módulo el producto del radio por la velocidad angular, lo que podríamos representar:

Aceleración

Del mismo modo que hemos calculado el vector posición y velocidad, podemos calcular la aceleración, para ello partiremos del vector velocidad y de la definición de aceleración:

1.

2.

Con lo que tenemos:

Haciendo la derivada:

Podríamos sustituir los vectores como en el caso de la velocidad para conseguir las componentes radial y tangencial de la aceleración, pero hay una forma más ingeniosa, partiendo del vector posición, sabiendo que:

La aceleración es:

Esto es:

La expresión entre corchetes es el vector posición, sustituyéndolo:

Esto es:

Aplicando el método general habríamos llegado a la misma conclusión, la aceleración no tiene componente tangencial, solo tiene componente radial, el sentido de la aceleración es el contrario del vector posición, apuntando hacia el centro de giro, y su módulo es el cuadrado de la velocidad angular por el radio de giro. Esta aceleración es la sufrida por la partícula cuando gira a velocidad constante, una partícula que lleve un movimiento circular uniforme tiene que estar sometida a una fuerza centrípeta que impide que lleve una trayectoria lineal, como correspondería por la ley de inercia. La fuerza que hace que la partícula tienda a continuar un movimiento rectilíneo, en lugar de hacer el giro con un radio dado, es la fuerza centrífuga, antagonista con la centrípeta que tiene que compensar.

Partiendo de la expresión del módulo de la velocidad tangencial:

Despejando ω, tenemos:

Partiendo de esta expresión y la de la aceleración:

1.

2.

Tenemos que:

Simplificando:

La aceleración centrífuga sufrida al realizar un giro es proporcional al cuadrado de la velocidad tangencial e inversamente proporcional al radio de giro, si doblamos la velocidad en un giro la fuerza centrífuga se multiplica por cuatro, si el radio de giro es el doble la fuerza centrífuga de reduce a la mitad, esta proporción es válida también para vehículos que describen una curva o realizan un giro.

Período y frecuencia

Dónde:

T: representa al periodo

π: representa al número Pi.

ω: representa la velocidad angular.

La frecuencia es una magnitud que mide el número de revoluciones por unidad de tiempo. Se mide en hertzios (Hz). Responde a la fórmula:

f: representa a la frecuencia.

π: representa al número Pi.

ω: representa la velocidad angular.

Al ser la frecuencia la inversa del período también se puede calcular mediante la fórmula:

En esta sección, vamos a definir las magnitudes características de un movimiento circular, análogas a las ya definidas para el movimiento rectilíneo.

Se define movimiento circular como aquél cuya trayectoria es una circunferencia.

Una vez situado el origen O de ángulos describimos el movimiento circular mediante las siguientes magnitudes.

Posición angular, θ

En el instante t el móvil se encuentra en el punto P. Su posición angular viene dada por el ángulo θ, que hace el punto P, el centro de la circunferencia C y el origen de ángulos O.

El ángulo θ, es el cociente entre la longitud del arco s y el radio de la circunferencia r, θ=s/r. La posición angular es el cociente entre dos longitudes y por tanto, no tiene dimensiones.

Velocidad angular, ω

En el instante t' el móvil se encontrará en la posición P' dada por el ángulo θ '. El móvil se habrá desplazado ∆θ=θ ' -θ en el intervalo de tiempo ∆t=t'-t comprendido entre t y t'.

Se denomina velocidad angular media al cociente entre el desplazamiento y el tiempo.

Como ya se explicó en el movimiento rectilíneo, la velocidad angular en un instante se obtiene calculando la velocidad angular media en un intervalo de tiempo que tiende a cero.

Aceleración angular, α

Si en el instante t la velocidad angular del móvil es ω y en el instante t' la velocidad angular del móvil es ω'. La velocidad angular del móvil ha cambiado ∆ω=ω' -ω en el intervalo de tiempo ∆t=t'-t comprendido entre t y t'.

Se denomina aceleración angular media al cociente entre el cambio de velocidad angular y el intervalo de tiempo que tarda en efectuar dicho cambio.

La aceleración angular en un instante, se obtiene calculando la aceleración angular media en un intervalo de tiempo que tiende a cero.

Dada la velocidad angular, hallar el desplazamiento angular

Si conocemos un registro de la velocidad angular del móvil podemos calcular su desplazamiento θ -θ0 entre los instantes t0 y t, mediante la integral definida.

El producto ω dt representa el desplazamiento angular del móvil entre los instantes t y t+dt, o en el intervalo dt. El desplazamiento total es la suma de los infinitos desplazamientos angulares infinitesimales entre los instantes t0

En la figura, se muestra una gráfica de la velocidad angular en función del tiempo, el área en color azul mide el desplazamiento angular total del móvil entre los instantes t0 y t, el arco en color azul marcado en la circunferencia.

Hallamos la posición angular θ del móvil en el instante t, sumando la posición inicial θ0 al desplazamiento, calculado mediante la medida del área bajo la curva ω-t o mediante cálculo de la integral definida en la fórmula anterior.

Dada la aceleración angular, hallar el cambio de velocidad angular

Del mismo modo que hemos calculado el desplazamiento angular del móvil entre los instantes t0 y t, a partir de un registro de la velocidad angular ω en función del tiempo t, podemos calcular el cambio de velocidad ω -ω0 que experimenta el móvil entre dichos instantes, a partir de una gráfica de la aceleración angular en función del tiempo.

En la figura, el cambio de velocidad ω -ω0 es el área bajo la curva α – t

Conociendo el cambio de velocidad angular ω -ω, o el valor numérico de la integral definida en la fórmula anterior. 0, y el valor inicial ω0 en el instante inicial t0

Resumiendo, las fórmulas empleadas para resolver problemas de movimiento circular son similares a las del movimiento rectilíneo.

Movimiento circular uniforme

Un movimiento circular uniforme es aquél cuya velocidad angular ω es constante, por tanto, la aceleración angular es cero. La posición angular θ del móvil en el instante tθ -θ lo podemos calcular integrando

0=ω(t-t0)

o gráficamente, en la representación de ω en función de t.

Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero. Las ecuaciones del movimiento circular uniforme son análogas a las del movimiento rectilíneo uniforme

Movimiento circular uniformemente acelerado

Un movimiento circular uniformemente acelerado es aquél cuya aceleración  es constante.

Dada la aceleración angular podemos obtener

el cambio de velocidad angular  -0 entre los instantes t0 y t, mediante integración, o gráficamente.

Dada la velocidad angular ω en función del tiempo, obtenemos el desplazamiento θ -θ0 del móvil entre los instantes t0 y t, gráficamente (área de un rectángulo + área de un triángulo), o integrando

Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero. Las fórmulas del movimiento circular uniformemente acelerado son análogas a las del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.

Despejando el tiempo t en la segunda ecuación y sustituyéndola en la tercera, relacionamos la velocidad angular ω con el desplazamiento θ-θ0

EJEMPLOS DE MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME Y NO UNIFORME

1.- Un móvil con trayectoria circular recorrió 820° ¿Cuántos radianes fueron?

Solución: 1 rad = 57.3°

820° x 1 rad = 14.31 radianes

57.3°

2.- Un cuerpo A recorrió 515 radianes y un cuerpo B recorrió 472 radianes. ¿A cuántos grados equivalen los radianes en cada caso?

Solución: Cuerpo A: 515 rad x 57.3° = 29509.5°

1 rad

Cuerpo B : 472 rad x 57.3 = 27045.6°

1 rad

3.- ¿Cuál es el valor de la velocidad angular de una rueda que gira desplazándose 15 radianes en 0.2 segundos?

Datos Fórmula Sustitución

ω = ¿?  = θ  = 15 rad

t 0.2 seg

 = 75 rad/seg.

θ = 15 rad

t = 0.2 seg

4.- Determinar el valor de la velocidad angular y la frecuencia de una piedra atada a un hilo, si gira con un periodo de 0.5 segundos?

Datos Fórmula Sustitución.

ω = ¿?  = 2 π  = 2 x 3.14 = 12.56 rad/seg

T 0.5 seg

F = ¿? F = 1/T F = 1/ 0.5 seg = 2 ciclos/seg 2 Hz

T = 0.5 seg

1.4 MOVIMIENTO DE CUERPO RIGIDO

Entendemos por sólido rígido un sistema de partículas en el que la distancia entre dos cualesquiera de ellas permanece invariable en el transcurso del tiempo.

Los cuerpos sólidos que manejamos se deforman siempre, en mayor o menor grado, cuando están sometidos a las acciones de las fuerzas; sin embargo, si éstas son suficientemente pequeñas, las deformaciones producidas son despreciables y, entonces, hablaremos de cuerpos rígidos o indeformables. La definición de sólido rígido es sólo conceptual, por cuanto que el sólido rígido, en todo rigor, no existe.

En este sentido, el sólido rígido es sólo una idealización y extrapolación del sólido real, al igual que lo es la partícula o punto material.

Consideremos un sólido rígido y un sistema de coordenadas, xyz, como se muestra en la Figura 5.3. Indicaremos por puntos, Pi y Pj los vectores de posición de dos (ri) ⃑ y (rj) ⃑, del sólido; la condición geométrica de rigidez se expresa por:

Que es equivalente a | (ri) ⃑-(rj) ⃑| = cte., ya que la raíz cuadrada de una constante otra constante.

La posición del sólido con respecto al sistema de ejes coordenados queda perfectamente determinada si conocemos la posición de tres cualesquiera de sus puntos, no alineados, como los puntos 1, 2 y 3 que se indican en la Figura 5.3. Para especificar la posición de cada uno de ellos se necesita tres parámetros o coordenadas; de modo que en total necesitamos, aparentemente, nueve parámetros o coordenadas para especificar la posición del sólido en el espacio. Los tres puntos que hemos tomado como referencia están ligados por las condiciones de rigidez expresadas por 5.7; esto es, tres ecuaciones:

Que nos permiten despejar tres incógnitas en función de las demás, de modo que el número mínimo de parámetros o coordenadas necesarias para especificar la posición del sólido es solamente seis. Decimos que el sólido rígido posee seis grados de libertad.

CONDICIÓN CINEMÁTICA DE RIGIDEZ

Para describir el movimiento de un sólido rígido deberíamos describir el movimiento de cada uno de los puntos o partículas materiales que lo constituyen. La situación puede parecernos demasiado complicada pero, afortunadamente, la propia condición de rigidez impone ciertas restricciones al movimiento de los distintos puntos materiales del sólido, de modo que la situación se simplifica enormemente.

Figura 5.4: (a) Condición geométrica de rigidez. La distancia entre dos puntos cualesquiera permanece constante durante el movimiento. (b) Condición cinemática de rigidez. Las velocidades de los puntos alineados pertenecientes a un sólido rígido dan idéntica proyección sobre la recta que definen.

Para cada pareja de puntos pertenecientes al sólido rígido, la (Pi, Pj) por ejemplo, podemos escribir la condición geométrica de rigidez, esto es, la ec. 5.7, que derivada con respecto al tiempo nos conduce a:

Que también podemos escribir en la forma:

Donde rij y vij representan, respectivamente, el vector de posición y la velocidad de la partícula Pi con respecto a la Pj al no ser nulos ninguno de los vectores que intervienen en el producto escalar, han de ser perpendiculares entre sí. Dicho de otro modo: todo vector con sus extremos fijos en el sólido rígido (ya que el rij es válido para cualquier par de puntos constituyentes del sólido) es perpendicular a su derivada con respecto al tiempo (i.e., a vij).

La ec. 5.9 expresa un resultado importante:

O también:

Ecuación que expresa la igualdad entre las proyecciones de las velocidades de los puntos Pi y Pj sobre la recta que los une. Este resultado constituye la condición cinemática de rigidez que se enuncia así:

Las velocidades de los puntos alineados pertenecientes al sólido rígido dan la misma proyección sobre la recta que los une.

Manifiestamente, la condición cinemática de rigidez expresa la imposibilidad de que se modifique la distancia entre dos puntos cualesquiera del sólido en el transcurso del movimiento de éste, ya que al ser siempre sus velocidades iguales en la recta que los une, es imposible que alguno se acerque al otro.

El movimiento más general del sólido rígido puede considerarse como la superposición de dos tipos de movimiento básicos: de traslación y de rotación.

El movimiento de los planetas y de las estrellas ha sido estudiadados durante miles de años. Desde el siglo II D.C., el astrónomo griego Claudio Ptolomeo estableció la teoría de que la Tierra era el centro del universo (Teoría Geocéntrica). Muchos siglos después, Nicolás Copérnico (1473-1543) fue capaz de demostrar que la Tierra y otros planetas en realidad se movían en órbitas circulares alrededor del Sol.

El astrónomo danés Tycho Brahe (1546-1601) realizó un gran número de mediciones sobre el movimiento de los planetas durante un periodo de veinte años, proporcionando medidas bastante precisas sobre el movimiento de los planetas y de más de 700 estrellas visibles al ojo humano. Puesto que el telescopio todavía no se inventaba, Brahe hizo sus mediciones utilizando un gran sextante y un compás. A partir de estas primeras observaciones el modelo del sistema solar ha evolucionado hasta llegar al que se acepta actualmente.

El astrónomo alemán Johannes Kepler, que fue discípulo de Brahe, retomó los innumerables datos recopilados por Brahe y trabajó con ellos muchos años intentando desarrollar un modelo matemático que concordara con los datos observados. Al principiar esta observación, le parecía obvio a Kepler que las órbitas de los planetas pudieran no ser circulares. Sus estudios demostraron que la órbita del planeta Marte era en realidad una elipse, con el Sol en uno de sus focos. Esta conclusión posteriormente se generalizó para todos los planetas que giran alrededor del Sol, y Kepler fue capaz de establecer varios enunciados matemáticos relacionados con el Sistema Solar. Actualmente dichos enunciados se conocen como las Leyes de Kepler del movimiento planetario.

Primera Ley de Kepler: Todos los planetas se mueven en órbitas elípticas con el Sol en uno de los focos. Esta Ley a veces se llama Ley de las órbitas.

La figura anterior presenta un planeta de masa mp que se mueve en una órbita elíptica alrededor del Sol, cuya masa es ms. El semieje mayor es a y el semieje menor es b. El valor más pequeño de la distancia r del planeta al Sol se llama perihelio y el valor más grande afelio. La distancia c del Sol al centro de la elipse debe obedecer la ecuación a2 = b2 + c2. El cociente c/a se define como la excentricidad de la órbita. Con excepción de Marte, Mercurio y Plutón, la mayoría de las órbitas planetarias son casi circulares y tienen una excentricidad que es aproximadamente igual a 1, puesto que c es casi igual a a.

Segunda Ley de Kepler: Una línea que conecte un planeta con el Sol abarca áreas iguales en tiempos iguales. A esta Ley se le llama también Ley de las áreas.

La segunda Ley se ilustra en la figura siguiente. Significa que el planeta debe moverse más lentamente cuando está más alejado del sol, (afelio) y más rápidamente cuando está más cerca del sol, (perihelio). Newton, fue capaz de demostrar posteriormente que esta observación, al igual que las otras dos leyes, eran consecuencia de su Ley de la gravitación universal.

Tercera ley de Kepler: El cuadrado del periodo de cualquier planeta es proporcional al cubo de la distancia media del planeta al Sol. Esta Ley se conoce como Ley de los periodos.

La tercera Ley de Kepler se representa claramente por medio de la siguiente ecuación válida para un satélite en una órbita circular.

T2 = 4 π2 R3

Gme

También es cierta para elipses si reemplazamos R (la distancia media del planeta al Sol) con a, el semieje mayor de la elipse. Por lo tanto, una forma más general para la ecuación anterior puede escribirse como:

T2 = 4 π2a3

Gms

Observe que cuando la trayectoria del planeta es circular, a = R, y las dos ecuaciones anteriores son equivalentes.

No hace mucho tiempo, quizá en los mejores tiempos de los abuelos, era una idea extravagante, además de improbable, el que los seres humanos pronto estarían en cómodas naves espaciales muy por encima de la atmósfera, en órbita alrededor del planeta Tierra. Tan recientemente como 1969, el hombre llegó por primera vez a la Luna. Hoy en día, los programas de noticias que recibe cada familia por televisión en todo el mundo se transmiten vía satélite. Precisamente en este momento, es muy probable que algunos astronautas o cosmonautas estén allá arriba. El hombre se está preparando ahora para exploraciones espaciales que lo llevarán quién sabe a dónde. Los logros obtenidos en cada viaje espacial, asombrosos de acuerdo con los criterios actuales, aunque quizá curiosos y anticuados según los criterios del mañana, tuvieron en retrospectiva sus inicios en una granja de Woolsthorpe, Inglaterra. Fue allá donde Isaac Newton descubrió la Ley de la gravitación universal y su función en los movimientos de la Luna, los planetas y los satélites.

Ejemplo 1: Un ferrocarril se mueve con velocidad constante de 25 km/h hacia el este. Uno de sus pasajeros, que originalmente está sentado en una ventanilla que mira al norte, se levanta y camina hacia la ventanilla del lado opuesto con un velocidad, relativa al ferrocarril, de 8 km/h. ¿Cuál es la velocidad absoluta del pasajero?

Resolución

v P− Velocidad absoluta del pasajero

v T− Velocidad absoluta del tren

v P/ T− Velocidad relativa del pasajero respecto al tren.

Dibujaremos un diagrama de vectores que represente la ecuación anterior. La magnitud de la velocidad del pasajero es:

Y su dirección:

EJEMPLO 2: Un avión A vuela con rapidez constante de 800 ft/s describiendo un arco de circunferencia de 8000 ft de radio. Otro avión, B, viaja en línea recta con una velocidad de 500 ft/s, que aumenta a razón de 30 ft/s2. Determine la velocidad y aceleración relativas del avión Arespecto al B.

Resolución

La velocidad absoluta de A es igual a la velocidad relativa de A respecto a B más la velocidad absoluta de B.

Con el diagrama de vectores que representa la ecuación anterior se muestra que:

La aceleración de A es normal a la velocidad y su magnitud es:

y la de B es:

Entonces:

De la figura que representa la ecuación:

EJEMPLO 3: Un motociclista persigue a un automóvil en una pista circular de 100 m de radio. En el instante mostrado en la figura, el primero corre a 40 m/s y el segundo, a 30. ¿Cuál es la velocidad relativa del automóvil respecto al motociclista?

Resolución

v A− Velocidad absoluta del automóvil

v M− Velocidad absoluta del motociclista

v A/ M− Velocidad relativa del automóvil respecto al motociclista

Como se trata de sólo tres vectores, dibujamos un diagrama que represente la ecuación anterior. Por la ley de cosenos :

Por la ley de senos:

1.4.1 TRASLACION Y ROTACION

MOVIMIENTO DE TRASLACION

El movimiento de traslación es el más sencillo que puede realizar el sólido rígido. Desde un punto de vista geométrico, lo podemos definir del modo siguiente:

Se dice que un sólido rígido se encuentra animado de un movimiento de traslación cuando todo segmento rectilíneo definido por dos puntos de aquél permanece paralelo a si mismo en el transcurso del movimiento.

Consideremos un sólido rígido animado de un movimiento de traslación, como se muestra en la Figura 4. En virtud de la condición geométrica de rigidez, el vector rij = ri-rj debe mantener constante su módulo en el transcurso de cualquier movimiento y, además, en virtud de la definición geométrica del movimiento de traslación, también ha de mantener constante su dirección; entonces, siendo c un vector constante, se puede escribir:

y derivando con respecto al tiempo

(2)

constituyendo esta igualdad la condición cinemática del movimiento de traslación, esto es:

Todos los puntos de un sólido rígido animado de un movimiento de traslación tienen, en cada instante, la misma velocidad.

Esa velocidad, común a todos los puntos del sólido, recibe el nombre de velocidad de traslación del sólido y debe ser considerada como un vector libre. Las mismas consideraciones pueden aplicarse a la aceleración. En consecuencia, una vez definido el movimiento de un punto cualquiera del sólido rígido que se traslada, tenemos definido el movimiento del sólido.

Otra característica importante del movimiento de traslación del sólido rígido es que las trayectorias recorridas por sus diversos puntos son congruentes, es decir, una se puede obtener mediante una translación de la otra. En efecto, consideremos de nuevo dos puntos

ualesquiera, Pi y Pj, pertenecientes al sólido, y sean ri y rj sus vectores de posición con respecto a un cierto origen arbitrario O. Imaginemos un desplazamiento experimentado en una traslación del sólido, de modo que los vectores de posición de esos puntos, con respecto al mismo origen O, sean ahora r′i y r′j, respectivamente. La condición geométrica de rigidez junto con la condición geométrica que define al movimiento de traslación, se expresa en la forma

De modo que el desplazamiento experimentado por cada uno de los puntos del sólido durante un intervalo de tiempo Δt es único. De este resultado, junto con la noción de la línea curva como límite de una poligonal y de la continuidad del movimiento, se sigue la congruencia de las trayectorias recorridas por los distintos puntos del sólido rígido.

Es conveniente que insistamos en que el movimiento de traslación no prejuzga forma alguna para las trayectorias de los distintos puntos que constituyen el sólido. Evidentemente, si la velocidad de traslación es constante (v=cte), cada uno de los puntos del sólido recorrerá una trayectoria rectilínea con celeridad constante y todas esas trayectorias serán paralelas entre sí (movimiento de traslación uniforme). Pero, en general, la velocidad de traslación no tiene por qué ser constante y la trayectoria puede ser curvilínea. Así, por ejemplo, las trayectorias recorridas por los distintos puntos del cuerpo pueden ser circunferencias, todas ellas del mismo radio (congruentes) aunque de distinto centro. Esta situación se presenta en una noria de feria de eje horizontal, como se muestra en la Figura; la armadura de la noria gira en torno al eje (rotación), pero las barquillas suspendidas de dicha armadura, prescindiendo de pequeñas oscilaciones pendulares, experimentan una traslación con trayectoria circular.

Movimiento de traslación.

En el movimiento de traslación todos los puntos del sólido tienen la misma velocidad.

Movimiento de traslación de las barquillas de la noria.

EJEMPLO 1: La barra OA del mecanismo mostrado tiene una rapidez angular de 8 rad/s en sentido antihorario. Determine la velocidad y aceleración lineales de las articulaciones A y B así como del extremo D de la barra CD

Resolución

Como la barra OA se mueve con rotación pura.

Puesto que la barra AB se mueve con traslación pura, todas sus partículas tienen la misma velocidad.

La velocidad angular de la barra CD es:

Igual a la de la barra OA. Por tanto, la velocidad lineal del extremo D es:

Como la velocidad angular es constante, la aceleración de D no tiene componente tangencial.

2. El collarín A se desliza hacia abajo con una rapidez de 30 in/s en el instante mostrado en la figura. Diga cuáles son, en ese mismo instante, la velocidad angular de la barra AB y la velocidad lineal del collarín B.

Resolución:

Reduciendo términos semejantes:

Que es una igualdad de vectores. Igualando las componentes verticales tenemos:

MOVIMIENTO DE ROTACION

Se dice que un sólido rígido está animado de un movimiento de rotación alrededor de un eje fijo cuando todos sus puntos describen trayectorias circulares centradas sobre dicho eje y contenidas en planos normales a éste.

El eje de rotación puede atravesar el cuerpo o ser exterior al mismo; en el primer caso, los puntos del sólido que están sobre el eje permanecen en reposo en tanto que los demás puntos describen circunferencias en torno al eje; en el segundo caso, todos los puntos del sólido están en movimiento circular alrededor del eje exterior al sólido. En cualquier caso, la velocidad v de un punto P del sólido será tangente a la circunferencia descrita y, en un instante dado, tendrá un módulo tanto mayor cuanto mayor sea la distancia del punto al eje de rotación. Dicha velocidad viene dada por

siendo un vector unitario (de módulo igual a la unidad) tangente a la trayectoria y v el módulo de la velocidad. Téngase en cuenta que necesariamente cambiará a lo largo del movimiento, ya que irá continuamente modificando su dirección hasta llegar de nuevo a la orientación original, tras completar un giro de radianes.

El módulo de la velocidad, denominado celeridad, se corresponde con

considerando s la distancia que el sólido va recorriendo a lo largo de la circunferencia. Dada la definición matemática de ángulo , se verifica que ds = rdθ, para lo cuál habrá que expresar el ángulo en radianes (rad). De aquí se deduce que

El cociente dθ/dt recibe el nombre de celeridad angular y se designa por ω:

y podemos expresar la celeridad v de cualquier punto del sólido como el producto de la celeridad angular por la distancia r del punto al eje de rotación

La introducción del concepto de celeridad angular es de gran importancia por la simplificación que supone en la descripción del movimiento de rotación del sólido, ya que, en un instante dado, todos los puntos del sólido poseen la misma celeridad angular, en tanto que a cada uno de ellos le corresponde una celeridad que es función de su distancia al eje de rotación. Así pues, la celeridad angular caracteriza al movimiento de rotación del sólido rígido en torno a un eje fijo. La celeridad angular se mide en radianes por segundo (rad/s).

Figura 7. Movimiento de rotación. El vector velocidad angular es único (invariante), pero cada punto del sólido tiene una velocidad diferente de la de los otros.

EJEMPLO 1: El diámetro AB del volante de la figura se mueve según la expresión θ= 2t3, donde si t está en s, θ resulta en rad. ¿Cuál es la aceleración angular del volante cuando t= 5 s? ¿Cuántas revoluciones gira el volante hasta alcanzar una rapidez de 2400 rpm?

Resolución:

Es la velocidad angular del diámetro AB:

Que es la aceleración angular del volante.

Para t= 5

El tiempo que tarda en alcanzar esa rapidez es:

y la desviación angular correspondiente es:

que en revoluciones son:

EJEMPLO 2: El diámetro AB del volante de la figura se desvía según la expresión θ= 2 t3, donde si t está en s, θ resulta en rad. El volante tiene un radio de 20 cm en el instante mostrado, θ= 60º, determine:

a) El valor de t.

b) La velocidad y aceleración lineales del punto B.

Resolución:

Y la tangencial:

En donde

La magnitud de la aceleración de B es:

Y el ángulo β:

Por tanto, como 60°-32.5°=27.5°

EJEMPLO 3: La banda de la figura es flexible, inextensible y no se desliza sobre ninguna de la poleas. La polea A, de 3 in de radio, gira a 120 rpm. Calcule la rapidez de una partícula cualquiera de la banda y la velocidad angular de la polea B, de 5 in de radio.

Resolución:

Como la expresión v=ωr puede emplearse con cualquiera de las poleas:

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