Centros De Masas

TEMA: CENTROS DE MASA

1. OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL:

Identificar y analizar los centros de masas según la teoría de Varignon y estudiarla.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

Analizar las figuras y poder sacar las ecuaciones para los centros de masa.

Identificar las coordenadas y la posición del centro de masa de las figuras partiéndolas en partes.

Observar los centros de masa de las figuras cortadas por la pieza

2. MARCO TEÓRICO

El centro de masas de un sistema discreto o continuo es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si en él estuviera aplicada la resultante de las fuerzas externas al sistema. De manera análoga, se puede decir que el sistema formado por toda la masa concentrada en el centro de masas es un sistema equivalente al original. Normalmente se abrevia como c.m

El centro de masas de un sistema de partículas es un punto que, a muchos efectos, se mueve como si fuera una partícula de masa igual a la masa total del sistema sometida a la resultante de las fuerzas que actúan sobre el mismo.

Se utiliza para describir el movimiento de traslación de un sistema de partículas.

La posición del centro de masas de un sistema de partículas viene dada por la expresión:

Vector de posición del centro de masas

El vector de posición del centro de masas se define como:

(r_cm ) ⃗=(∑_(i=1)^N▒〖m_i c_i 〗)/(∑_(i=1)^N▒m)

r ⃗_cm= 1/M ∑_(i=1)^N▒m_i r ⃗_i

Donde M es la masa total del sistema de partículas. La posición del centro de masas no tiene por qué coincidir con la posición de ninguna de las partículas del sistema, es simplemente un punto en el espacio.

Velocidad del centro de masas

La velocidad del centro de masas es la derivada de su vector de posición:

v ⃗_cm=(dv_cm)/dt=1/m d/dt ∑_(i=1)^N▒m_i r ⃗_i=1/M ∑_(i=1)^N▒m_i (dr ⃗_i)/dt=1/M ∑_(i=1)^N▒m_i v_i

El segundo miembro de la ecuación anterior es el momento lineal total del sistema de partículas dividido por la masa total del sistema, por lo que este último puede obtenerse a partir de la velocidad del centro de masas:

v ⃗_cm=1/M P ⃗_tot v ⃗_cm=Mv ⃗_cm= P ⃗_tot

Este último resultado significa que el momento lineal total de un sistema de partículas es igual al momento lineal que tendría la masa total del sistema situada en el CM, por lo que el movimiento de traslación del sistema de partículas está representado por el de su centro de masas.

Aceleración del centro de masas

Cuando un sistema de partículas no está aislado, sobre él actuarán fuerzas internas y externas, representadas respectivamente en la siguiente figura (a) en rojo y en verde; por tanto las partículas de dicho sistema tendrán en general aceleración, y el centro de masas también estará acelerado.

El teorema de Varignon es visto, gracias al empleo del cálculo vectorial, como una obviedad. Sin embargo, en su época tuvo una relevancia fundamental, ya que las fuerzas no eran vistas como vectores con un módulo, dirección y sentidos dados, sino como entelequias tremendamente abstractas cuyo tratamiento se veía complicado por una difícil e ineficaz semántica y simbología (que la notación de Leibniz vino a solventar), y por el empleo de técnicas geométricas muy ingeniosas pero difíciles de tratar.

Teorema de Varignon (mecánica) Un concepto usado a menudo en mecánica es el principio de momentos, al cual se le llama a veces teorema de Varignon. Este principio establece que el momento de una fuerza con respecto a un punto es igual a la suma de los momentos de las componentes de la fuerza con respecto al punto. La prueba

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