Ciencia

Tema 9: Conservación de la energía

El principio de conservación de la energía establece que la energía no se crea ni se destruye, solo se transforma.

En el caso de conservación de la energía entre un resorte y el trabajo de fricción, la relación de transformación de energías queda de la siguiente manera:

½kx2 = µmgd

Donde k es la constante del resorte; x la distancia comprimida en el resorte por el objeto de masa m; µ es el coeficiente de fricción; d es la distancia que recorre el bloque hasta que se detiene; y g es la gravedad, después de ser lanzado por el resorte, sobre una superficie horizontal con fricción.

Para el caso de que la fuerza sea variable, el trabajo debe calcularse como:

[pic 1]

En donde Fx es la fuerza horizontal, y xo, xf son los valores de posición inicial y final, respectivamente.

Por otro lado, debemos recordar que una integral representa el área bajo la curva, en donde a través de la siguiente gráfica se puede calcular de manera geométrica el trabajo, que corresponde al siguiente ejemplo:

Un ejemplo de conservación de la energía es el caso de una pelota que se lanza verticalmente hacia arriba a una velocidad de 6 m/s; para determinar la altura alcanzada, se realiza conservación de la energía cinética que se transforma en energía potencial, quedando lo siguiente:

½mv2 = mgh

Al sustituir y despejar de las ecuaciones, se obtiene que: [pic 2]

Ejemplo ilustrativo:
Considera el caso de que una fuerza horizontal está empujando un bloque de 2 kg de masa, como se muestra en la figura; el bloque se desliza 4 metros por un plano horizontal con fricción: µ=0.3 y g = 10m/s2; por otro lado, la fuerza varía con la distancia de acuerdo con la gráfica mostrada, determina:

1. El trabajo individual de cada fuerza
2. El trabajo neto o resultante
3. La velocidad final, considerando que v0 = 5m/s
4. Las energías cinéticas inicial y final
5. El cambio en la energía cinética comparado con el trabajo neto

[pic 3]

1. Para determinar el trabajo individual de cada fuerza que se aplica al objeto, primero se debe dibujar el diagrama de fuerzas y obtener el peso, la normal y la fricción:

[pic 4]

En el diagrama se observan 4 fuerzas, por lo tanto podría haber 4 trabajos:

Trabajo debido a la normal:          WN = NXcos 90° = 0

Trabajo debido al peso:                Wmg = mgXcos 270° = 0

Trabajo debido a la fricción:         Wfr = frXcos 180° = -24 joules

Trabajo debido a la fuerza dibujada en la gráfica.
El trabajo se puede determinar mediante el área bajo la curva, que corresponde a dos figuras, una rectangular y otra triangular:

Área= (2)(12) + (2)(12)/2 = 24+12=36

Debido a que el área representa el trabajo, en este caso: WF = 36 joules

1. El trabajo neto o resultante es la suma algebraica de estos trabajos:

WNETO = 36 - 24 =12 joules

1. La velocidad después de recorrer los 4 metros se calcula empleando el teorema del trabajo y la energía:

[pic 5]

[pic 6]

Despejando se obtiene la velocidad final: vf = 6.1 m/s

1. Las correspondientes energías cinéticas inicial y final son:

[pic 7]

[pic 8]

1. El cambio en la energía cinética es:

ΔK =Kf - K0 = 12 joules

Por lo que se concluye que este cambio en la energía cinética del objeto corresponde al trabajo neto, cumpliéndose de esta manera el teorema del trabajo y la energía.

Tema 10: Impulso y momentum

Impulso es una cantidad física vectorial que se produce cuando una fuerza se aplica a un objeto un determinado tiempo, la consecuencia de esto es que se produce un cambio en el momentum o cantidad de movimiento del objeto. Para obtener las ecuaciones de estos conceptos, se toma como base la segunda Ley de Newton:

F = ma [N]

Por otro lado, la aceleración se define:

[pic 9]

Al sustituir esta ecuación en la segunda Ley de Newton, se obtiene:

[pic 10]

En donde el término Ft define al concepto de impulso producido por la fuerza, y los otros términos definen al concepto de cantidad de movimiento, también llamado momentum. Esta ecuación también es conocida como el Teorema del impulso y el momentum, el cual establece que el impulso aplicado a un cuerpo produce un cambio en el momentum (cantidad de movimiento) de dicho cuerpo.

Estos conceptos se pueden ilustrar a través del siguiente ejemplo:

A un jugador de tenis le llega a su raqueta una pelota de 100 gr, a una velocidad de 20 m/s, que viaja en la dirección de X(-); el jugador le pega a la pelota y debido al golpe la pelota sale rebotada a una velocidad de 30 m/s en la dirección de X(+). Por otro lado, se sabe que el tiempo de contacto entre la raqueta y la pelota es de 4 décimas de segundo. Determinar lo siguiente:

1. Fuerza que imprime la raqueta a la pelota
2. Impulso
3. Momentum inicial y momentum final
4. Cambio en el momentum

Se sustituyen los datos de manera directa en la ecuación del impulso y el momentum:

Ft = mvf - mv0

F(0.4) = (0.1)(30) - (0.1)(-20)

Despejando la fuerza se obtiene F=12.5N; se puede observar que la velocidad inicial es negativa, debido a que se mueve en X(-).

Sabiendo la fuerza se calcula el impulso como:

Impulso = Ft = 12.5(0.4) = 5N [pic 11]s

Los valores del momentum inicial y final se determinan:

[pic 12] ,   [pic 13]

El cambio del momentum es la diferencia entre las cantidades anteriores:

[pic 14]

Se concluye que el cambio en el momentum que tuvo la pelota es igual al impulso aplicado por la raqueta a la pelota, cumpliéndose de esta manera el teorema del impulso y el momentum.

Tema 11: Movimiento rotacional

Fundamentos de cinemática rotacional

El movimiento lineal de un objeto queda definido a través de magnitudes o cantidades físicas como el desplazamiento, la velocidad, la aceleración o el movimiento rotacional de un objeto; los conceptos son similares, lo cual facilita su estudio y comprensión. A continuación se definen y se describen las cantidades físicas que rigen a la cinemática rotacional, que también es llamada cinemática angular o cinemática circular.

1. Posición angular: se representa con la variable θ, indicando el ángulo en donde se ubica el objeto con respecto a un eje de referencia llamado eje polar, que forma el ángulo θ=0. En este caso el objeto describe una trayectoria circular de radio r, siendo este radio la distancia de la línea recta o rayo que va del centro del círculo hasta donde está ubicado el objeto. El ángulo q puede ser medido en radianes, grados o revoluciones.
2. Radián: es el ángulo que forma el rayo, que limita una longitud de arco de circunferencia igual al radio del círculo.
   El perímetro de una circunferencia tiene una longitud: P = π(diámetro) = 2πr, y su abertura angular abarca una vuelta o una revolución, por lo tanto:

1 revolución = 2π radianes =360 grados

1. Desplazamiento angular (Δ θ): es el cambio de posición angular en que gira el objeto, y se determina mediante la diferencia entre la posición angular final con la posición angular inicial, que se expresa por la relación:

Δθ = θ2 - θ1

1. Velocidad angular media ([pic 15]): es la razón de cambio del desplazamiento angular del objeto en un determinado tiempo, y se determina como sigue:

[pic 16]

1. Velocidad angular instantánea: es la razón de cambio del desplazamiento del objeto, pero en un tiempo infinitesimalmente pequeño, y se determina como sigue:

[pic 17]

Por lo que la función de velocidad angular, para cualquier instante de tiempo, se obtiene derivando con respecto al tiempo la función de posición del objeto. De la ecuación anterior y aplicando el cálculo integral se obtiene:

[pic 18]

Por lo que el desplazamiento angular del objeto se determina mediante la integral definida de la función de velocidad angular con respecto al tiempo.

1. Aceleración angular media: es la razón de cambio de la velocidad angular del objeto en un determinado tiempo, y se calcula por la ecuación:

[pic 19]

1. Aceleración angular instantánea: es la razón de cambio de la velocidad del objeto, pero en un tiempo infinitesimalmente pequeño, y se determina como sigue:

[pic 20]

Por lo que la función de aceleración angular, para cualquier instante de tiempo, se obtiene derivando con respecto al tiempo la función de velocidad angular del objeto. De la ecuación anterior y aplicando el cálculo integral se obtiene:

...