Circunferencia, parabola y elipse
Enviado por Denisse Abuter • 30 de Octubre de 2018 • Tareas • 1.299 Palabras (6 Páginas) • 540 Visitas
Matemática II
Circunferencia, parábola y elipse.
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Ejercicio 1
Situación problemática: una pelota de caucho se deja caer desde determinada altura y rebota describiendo consecutivamente curvas parabólicas. En el primer rebote, cuando la pelota alcanza su altura máxima, 40 cm, se ha desplazado horizontalmente 30 cm con respecto al punto de rebote. Si la situación se representa como muestra la gráfica: ¿cuál es la ecuación de la parábola que describe el primer rebote?
[pic 3]
Solución:
La ecuación de una parábola con vértice en (h, k), y eje paralelo al eje Y que se abre hacia abajo es
[pic 4]
Como se observa en la gráfica los tres puntos de coordenadas (0, 0), (30, 40), (60, 0) pertenecen a la parábola y luego al reemplazar se cumple lo siguiente:
[pic 5]
[pic 6]
[pic 7]
Por igualación de y nos queda que:[pic 8][pic 9]
[pic 10]
h = 60 - h
2h = 60
h = 30
Reemplazamos “h” en [pic 11]
[pic 12]
900 = 4pk
Y “h” en [pic 13]
[pic 14]
0 = -4p (40 - k)
De 900 = 4pk despejamos “p” y queda
[pic 15]
[pic 16]
Reemplazamos el valor de “p” en 0 = -4p (40 - k)
[pic 17]
[pic 18]
[pic 19]
[pic 20]
[pic 21]
[pic 22]
Luego sustituimos “k” en [pic 23]
[pic 24]
[pic 25]
Reemplazamos finalmente en la ecuación de la parábola:
[pic 26]
[pic 27]
Desarrollo:
[pic 28]
[pic 29]
Ecuación que quedaría de la siguiente manera:
[pic 30]
[pic 31]
[pic 32]
La cual reordenada, quedaría así:
[pic 33]
Ejercicio 2
El volumen de un cilindro está dado ¿cuál es el volumen de un cilindro que tiene de base un círculo, donde la circunferencia se describe y la altura es de 2 unidades?[pic 34][pic 35]
Solución:
El volumen de un cilindro es igual al área de la base multiplicada por la altura. Tenemos que la altura es igual a 2 unidades y la base es la circunferencia de la ecuación .[pic 36]
El área de la región encerrada por una circunferencia es , donde “r” es el radio. [pic 37]
Y tenemos también que la ecuación de una circunferencia es , donde (h,k) corresponde al centro de la circunferencia.[pic 38]
Entonces al desarrollar la ecuación general para llegar a la ecuación ordinaria, tenemos que realizar la completación del trinomio cuadrado perfecto:
[pic 39]
Para encontrar en tercer término, debemos tomar el número que acompaña a la , dividirlo en dos y elevarlo al cuadrado, como se muestra a continuación:[pic 40]
[pic 41]
[pic 42]
Y lo mismo con el término que acompaña a la :[pic 43]
[pic 44]
[pic 45]
Entonces, la ecuación va quedando así:
[pic 46]
Es importante agregar a ambos lados de la ecuación los números que hemos encontrado para formar nuestro cuadrado perfecto.
Luego encontramos el cuadrado de binomio que pertenece a cada una de las formas encontradas, esto lo podemos realizar sacando la raíz cuadrada del tercer término (el cual hemos encontrado anteriormente) y considerando el signo del segundo término, como se muestra a continuación:
[pic 47]
Y,
[pic 48]
[pic 49]
En donde según la formula inicial, –h=3, entonces h= - 3.
Y luego tenemos que
[pic 50]
[pic 51]
[pic 52]
Entonces tenemos que el volumen corresponde a:
[pic 53]
[pic 54]
[pic 55]
Ejercicio 3
¿Cuál es la ecuación de la circunferencia que se muestra en la gráfica?
[pic 56]
Solución:
En el grafico se muestra una circunferencia con centro A (3,3) y , con lo cual sabemos que el centro es igual a (h,k), entonces h=3 y k=3.[pic 57]
Según la ecuación ordinaria, tenemos que:
[pic 58]
Reemplazamos h, k y r en la ecuación ordinaria:
[pic 59]
Y luego desarrollamos los cuadrados de binomio y reordenamos los términos para llegar a la ecuación general de la circunferencia:
[pic 60]
[pic 61]
[pic 62]
[pic 63]
Ejercicio 4
Encuentra la ecuación de la parábola que cumple simultáneamente con las siguientes condiciones:
a. vértice en el origen
b. directriz x+3=0
Solución:
Tenemos que el vértice es y que la directriz es [pic 64][pic 65]
Por definición se sabe que:
[pic 66]
[pic 67]
Por lo tanto los puntos del foco corresponden a:
[pic 68]
Y el valor de p es 3.
...