Colaborativo 2 Algebra Lineal

TRABAJO COLABORATIVO 2

Utilice el método de eliminación Gauss-Jordán, para encontrar todas las soluciones (si existen), de los siguientes sistemas lineales.

1.1

-x-4x-7z=-4

x-7y-z=-7

-x+6z=0

1.2

-5x+2y-z+4w=10

3x-7y-z-w=-1

SOLUCIÓN

La matriz ampliada es:

{■(-1&-4&-7@1&-7&-1@-1&0&6)│■(-4@-7@0)}

{■(-1&-4&-7@1&-7&-1@-1&0&6)│■(-4@-7@0)}-f_1 {■(1&4&7@1&-7&-1@-1&0&6)│■(4@-7@0)} f_2-f_1 {■(1&4&7@0&-11&-8@-1&0&6)│■(4@-11@0)}

f_3+f_1 {■(1&4&7@0&-11&-8@0&4&13)│■(4@-11@4)}-1/11 f_2 {■(1&4&7@0&1&8/11@0&4&13)│■(4@1@4)} f_1-〖4f〗_2 {■(1&0&45/11@0&1&8/11@0&4&13)│■(0@1@4)}

f_3-〖4f〗_2 {■(1&0&45/11@0&1&8/11@0&0&111/11)│■(0@1@0)} 11/111 f_3 {■(1&0&45/11@0&1&8/11@0&0&1)│■(0@1@0)} f_2-8/11 f_3 {■(1&0&45/11@0&1&0@0&0&1)│■(0@1@0)}

f_1-45/11 f_3 {■(1&0&0@0&1&0@0&0&1)│■(0@1@0)}

De la última matriz, que se encuentra en forma escalonada reducida se tiene que:

x_1=0

x_2=1

x_3=0

La matriz ampliada es:

{■(-5&2&■(-1&4)@3&-7&■(-1&-1))│■(10@-1)}

{■(-5&2&■(-1&4)@3&-7&■(-1&-1))│■(10@-1)}-1/5 f_1 {■(1&-2/5&■(1/5&-4/5)@3&-7&■(-1&-1))│■(-2@-1)} f_3-〖3f〗_1

{■(1&-2/5&■(1/5&-4/5)@0&-29/5&■(-8/5&7/5))│■(-2@5)}-5/29 f_2 {■(1&-2/5&■(1/5&-4/5)@0&1&■(-8/29&-7/29))│■(-2@-25/29)}

f_1+2/5 f_2 {■(1&0&■(9/29&-26/29)@0&1&■(-8/29&-7/29))│■(-68/29@-25/29)}

La matriz A se encuentra en su forma escalonada reducida, el método finaliza allí, por lo tanto el sistema resultante es de la forma:

x_1+9/29 x_3-26/29 x_4=-68/29

x_2-8/29 x_3-7/29 x_4=-25/29

Las variables libres x_3 y x_4, se encuentran presentes en las dos ecuaciones, para encontrar un vector que satisfaga las dos ecuaciones, se requiere asignarles valores arbitrarios a x_3 y x_4, con eso encontramos los valores de x_1 y x_2.

Despejemos x_1 en la primera ecuación:

x_1=-68/29-9/29 x_3+26/29 x_4

Despejemos x_2 en la segunda ecuación:

x_2=-25/29+8/29 x_3+7/29 x_4

Para hallar el vector de la forma[x_1,x_2,x_3,x_4 ] que satisfaga el sistema, podemos escribirlo así:

x_1=-68/29-9/29 x_3+26/29 x_4

x_2=-25/29+8/29 x_3+7/29 x_4

x_3=x_3

x_4=x_4

Escrito como vector fila (solución general) sería:

[-68/29-9/29 x_3+26/29 x_4,-25/29+8/29 x_3+7/29 x_4,x_3,x_4 ]

Para encontrar un vector cualquiera que satisfaga el sistema (solución particular), le asignamos un valor cualquiera a x_3 y x_4, para este caso x_3=0 y x_4=0, entonces

[-68/29,-25/29,0,0 ]

Si x_3=1 y x_4=0, entonces

[-68/29-9/29,-25/29+8/29,1,0 ]

[-77/29,-17/29,1,0 ]

Resuelva el siguiente sistema lineal, empleando para ello la inversa, (utilice el método que prefiera para hallar A^(-1)).

x-y-7z=-7

2x-y-2z=-2

-5x+z=1

SOLUCIÓN

Para saber si el sistema tiene solución es necesario hallar la determinante que debe ser diferente de cero, el sistema queda de la siguiente manera:

[■(1&-1&-7@2&-1&-2@-5&0&1)]

Det=[■(1&-1&-7@2&-1&-2@-5&0&1)]={■(1&-1&-7@2&-1&-2@-5&0&1)│■(1&-1@2&-1@-5&0)}

=((1)(-1)(1)+(-1)(-2)(-5)+(-7)(2)(0))-((-5)(-1)(-7)+(0)(-2)(1)+(1)(2)(-1))

...