Cual es el Movimiento Armonico Simple

MOVIMIENTO OSCILATORIO

FACULTAD: INGENIERIA CIVIL

ASIGNATURA: FISICA DE MATERIALES

UNIVERSIDAD SANTO TOMAS

BUCARAMANGA

2016

INTRODUCCIÓN

Dentro del reloj de bolsillo se encuentra un pequeño disco (llamado péndulo de torsión) que oscila hacia atrás y hacia adelante a intervalos muy precisos y controla los engranes del reloj. Un reloj de péndulo mantiene el tiempo preciso debido, justamente, a su péndulo. El armazón grande de madera provee el espacio necesario para el largo péndulo mientras hace avanzar los engranes del reloj con su balanceo. En cada uno de estos dos artefactos de medición de tiempo la vibración de un componente cuidadosamente conformado es crucial para asegurar la operación^[1].

MOVIMIENTO OSCILATORIO

Un  tipo  de  movimiento  particular  ocurre  cuando  sobre  el  cuerpo  actúa  una  fuerza  que  es  directamente  proporcional  al  desplazamiento  del  cuerpo  desde  su  posición  de  equilibrio.  Si  dicha  

fuerza siempre actúa en la dirección de la posición de equilibrio del cuerpo, se producirá un movimiento de ida y de vuelta respecto de esa posición, por eso a estas fuerzas se les da el nombre de fuerzas de restitución, porque tratan siempre  de  restituir  o  llevar  al  cuerpo  a  su  posición  original  de  equilibrio.  El  movimiento que se produce es un ejemplo de lo que se llama movimiento periódico u oscilatorio.

Ejemplos de movimientos periódicos son la oscilación de una masa acoplada a un resorte, el movimiento de un péndulo, las vibraciones de las cuerdas de un instrumento musical, la rotación de la Tierra, las ondas electromagnéticas tales como ondas de luz y de radio, la corriente eléctrica en los circuitos de corriente alterna y muchísimos otros más.

Un  tipo  particular  es  el  movimiento  armónico  simple.  En  este  tipo  de  movimiento,  un  cuerpo  oscila  indefinidamente  entre  dos  posiciones  espaciales  sin  perder  energía  mecánica.  Pero  en  los  sistemas  mecánicos  reales,  siempre  se  encuentran  presente  fuerzas  de  rozamiento,  que  disminuyen  la  energía  mecánica a medida que transcurre el tiempo, en este caso las oscilaciones se llaman amortiguadas. Si se agrega una fuerza externa impulsora de tal manera que la pérdida  de  energía  se  equilibre  con  la  energía  de  entrada,  el  movimiento  se  llama oscilación forzada.  

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE:

Una partícula que se mueve a lo largo del eje x, tiene un movimiento armónico simple cuando su desplazamiento x desde la posición de equilibrio, varía en el tiempo de acuerdo con la relación

[pic 4]

Esta es una ecuación periódica y se repite cuando ωt se incrementa en 2π radianes. La constante A se llama amplitud del movimiento, es simplemente el máximo desplazamiento de la partícula, ya sea en la dirección positiva o negativa de x. La constante ω se llama frecuencia angular, el ángulo δ se llama ángulo o constante de fase y junto con la amplitud quedan determinados  por  el  desplazamiento  y  velocidad  inicial  de  la  partícula.  Las  constantes  A y δ nos dicen cual era el desplazamiento en el instante t = 0. La cantidad (ωt + δ) se llama la fase del movimiento y es de utilidad en la comparación del movimiento de dos sistemas de partículas.

[pic 5]

El periodo T es el tiempo que demora la partícula en completar un ciclo de su movimiento,  es decir, es el valor que tiene x en el instante t+T. se puede demostrar que el periodo del movimiento está dado por  , sabiendo que la fase aumenta  radianes en un tiempo T:[pic 6][pic 7]

[pic 8]

Comparando se concluye que  o .[pic 9][pic 10]

Al inverso del periodo se le llama frecuencia f del movimiento. La frecuencia representa  el  número  de  oscilaciones  que  hace  la  partícula  en  un  periodo  de  tiempo, se escribe como:

[pic 11]

Las  unidades  de  medida  de  frecuencia en  el  SI  son  1/s  o  ciclos/s,  llamados  Hertz o  Hz.  

Reacomodando  la  ecuación  de  la  frecuencia,  se  obtiene  la  frecuencia  angular  ω, que se mide en rad/s, de valor:

[pic 12]

La  velocidad  de  una  partícula  que  tiene  un  movimiento  armónico  simple  se  obtiene derivando respecto al tiempo la ecuación :[pic 13]

[pic 14]

y derivando nuevamente se obtiene la aceleración:

[pic 15]

Como  , la aceleración se puede expresar de la forma:[pic 16]

[pic 17]

De  las  ecuaciones  de  velocidad  y  de  aceleración,  teniendo  en  cuenta  que  los  valores extremos de las funciones seno o coseno son ± 1, sus valores extremos máximos o mínimos son:

[pic 18]

[pic 19]

En las curvas de posición, velocidad y aceleración con respecto al tiempo se ve, cómo la fase de la velocidad difiere en π/2 rad o 90º con la fase del desplazamiento. Entonces, cuando x es un máximo o un mínimo, la velocidad es cero. De igual forma, cuando x es cero, la rapidez es un máximo o un mínimo. Del mismo modo, como la fase de la  aceleración  difiere  en  π  rad  o  180º  con  la  fase  del  desplazamiento, cuando x es un máximo o un mínimo, la aceleración es un mínimo o un máximo.

[pic 20]

La ecuación  es una solución general de la ecuación diferencial que describe el movimiento armónico simple, donde la constante de fase δ y  la  amplitud  A se  deben  elegir  para  satisfacer  las  condiciones  iniciales  del  movimiento. La constante de fase es importante cuando se quiere comparar el movimiento de dos o más partículas oscilantes. Suponiendo que se conocen la posición inicial y la velocidad inicial de un oscilador, esto es, en t = 0,  obteniendo:[pic 21][pic 22]

[pic 23]

y

[pic 24]

Que son dos ecuaciones de donde se pueden calcular los valores de la constante de fase δ y la amplitud A. Dividiéndolas, se obtiene:

[pic 25]

Si se elevan al cuadrado y se suman las ecuaciones de posición y velocidad inicial, se obtiene:

[pic 26]

Entonces se observa que δ y A se pueden conocer si se especifican las condiciones iniciales , ω y .[pic 27][pic 28]

ENERGÍA EN EL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

De la ecuación de rapidez de una partícula con movimiento armónico simple y reemplazando con la definición de energía cinética, se obtiene:

[pic 29]

De la deformación x en un resorte su energía potencial elástica almacenada es:

[pic 30]

La energía mecánica total en el movimiento armónico simple, se da como:

[pic 31]

[pic 32]

De donde se puede deducir que la energía mecánica total en el movimiento armónico simple es una constante del movimiento, proporcional al cuadrado de la amplitud, dicho valor es igual a la máxima energía potencial elástica almacenada en un resorte cuando , ya que en estos puntos la velocidad es igual a cero y por lo tanto no existe energía cinética.[pic 33]

Por otro lado, en la posición de equilibrio x=0 y , además en este punto la velocidad es la máxima, por lo tanto toda la energía es cinética, es decir en x=0:[pic 34]

[pic 35]

Como la superficie sobre la cual oscila el resorte es sin fricción, la energía se conserva,  usando la ecuación de conservación de la energía:

[pic 36]

[pic 37]

De donde se puede calcular la velocidad para un desplazamiento cualquiera x:

[pic 38]

Siendo la velocidad máxima en x=0 y cero en los puntos de regreso del oscilador .[pic 39]

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