CÍRCULO DE MORH 3D

CÍRCULO DE MORH 3D

El estudio de este diagrama es para facilitar el cálculo al momento de encontrar las tensiones principales. Donde conociendo un plano principal se puede determinar los dos planos principales restantes del conjunto de planos perpendiculares al primero.

Primero empecemos analizando la condición de equilibrio de un prisma triangular contenido en un paralelepípedo elemental, representado en la siguiente figura:[pic 1]

Donde el prisma se forma seccionando el paralelepípedo elemental con un plano paralelo al eje principal y e inclinado con un ángulo α.

De la condición de equilibrio:

[pic 2][pic 3]

[pic 4][pic 5]

[pic 6]

[pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12]

[pic 13][pic 14][pic 15][pic 16]

[pic 17][pic 18]

[pic 19][pic 20]

[pic 21][pic 22]

[pic 23]

[pic 24]

[pic 25]

[pic 26]

• [pic 27]
• [pic 28]

Simplificando aún más la ecuación para darle forma de una ecuación paramétrica con parámetro α:

        (1)[pic 29]

                        (2)[pic 30]

Entonces quedan determinado las tensiones en planos paralelos a uno de los ejes principales. Pero a estas expresiones se les puede dar un sentido geométrico pues dependen de un ángulo 2α.

Acomodando la ecuación (1):

[pic 31]

[pic 32]

[pic 33]

Acomodando la ecuación (2):

[pic 34]

Sumando ambos resultados:

        (3)[pic 35]

En un sistema de coordenadas (σ,) la expresión (3) es la ecuación de una circunferencia cuyo centro se encuentra sobre el eje σ a una distancia de  desde el origen de coordenadas y cuyo radio es . Esto se puede representar en el siguiente gráfico:[pic 39][pic 36][pic 37][pic 38]

Donde a cada punto de la circunferencia le corresponde un plano paralelo al eje principal y. Y donde para el ángulo 0° y 90° le corresponde los otros dos ejes principales. Además, para cada tensión principal de manera análoga se pueden construir los círculos de Mohr entonces se pueden construir tres círculos de Mohr. Por otro lado, como no se concretiza el signo de generalmente solo se gráfica la mitad superior de la circunferencia. Entonces estos tres círculos de Mohr para cada tensión principal quedan representados así:[pic 40]

[pic 41]

Esta claro que no todos los planos cortantes están incluidos en estas circunferencias, los planos que no son paralelos a los ejes principales no pueden ser incluidos en estos círculos de Mohr. Pero se puede demostrar que a estos planos de inclinación cualquiera le corresponden en el sistema de coordenadas (σ,) los puntos que se encuentran en el triángulo curvilíneo rayado BCD formado por los tres círculos de Mohr.[pic 42]

[pic 43]

Donde la tensión tangencial máxima es igual a: [pic 44]

El diagrama circular puede ser construido no sólo cuando se dan las tensiones principales. Es suficiente conocer las tensiones en dos planos cualesquiera del conjunto examinado de planos en cuestión paralelos al eje principal. Supongamos, por ejemplo, dado el estado tensional:[pic 45]

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