Definición de un vector en R2, R3 (interpretación geométrica), y su generalización en RN

UNIDAD I VECTORES

1.1 DEFINICIÓN DE UN VECTOR EN R2, R3 (INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA), Y SU GENERALIZACIÓN EN RN.

Magnitudes físicas

Existen magnitudes físicas que quedan perfectamente definidas mediante un número expresado en sus unidades correspondientes. Ejemplos de este tipo de magnitud son: la masa m, volumen v, temperatura t, longitud de onda , potencial eléctrico v, etc. a estas magnitudes se les denomina magnitudes escalares. sin embargo, para describir adecuadamente ciertos sistemas físicos, deberemos hacer uso de otro tipo de magnitudes para las que, además de un escalar (número), hace falta indicar la dirección y el sentido. Se llaman magnitudes vectoriales y en los textos se representan mediante una letra con una flecha encima, o bien en negrita. Por ejemplo, la velocidad (o v), la fuerza f, campo magnético b, etc. vamos a ocuparnos de definir estas últimas y recordar las operaciones básicas que pueden llevarse a cabo con ellas.

Definición de vector

un vector es un ente matemático que representa una magnitud vectorial. geométricamente es un segmento de recta orientado, es decir, una flecha. en tres dimensiones, se necesitan tres parámetros para definirlos; en dos dimensiones este número se reduce a dos. estos parámetros pueden ser representados de distintas maneras, pero siempre tiene que haber un modo de pasar de una representación a otra, como veremos a continuación. en primer lugar es necesario definir un sistema de ejes perpendiculares entre sí: xyz en 3 dimensiones ó xy en 2 dimensiones (ver figura).

si v representa una magnitud vectorial, llamamos módulo de v (o bien simplemente v, a la longitud de la flecha que la representa. el módulo debe ser

siempre una cantidad positiva. para completar la definición del vector es preciso indicar la dirección de la flecha. suele darse indicando el ángulo que la misma forma con uno de los ejes, . cuando un vector se define con estas dos cantidades, se dice que está expresado en coordenadas polares.

Otra manera de representar la misma magnitud vectorial en el mismo sistema de ejes consiste en dar las proyecciones del vector a lo largo de cada uno de los ejes, vx y vy. cuando el vector se define así, se dice que está expresado en coordenadas cartesianas y se suele representar como (vx, vy).

¿cómo se transforman unas coordenadas en otras? a la vista de la figura, y utilizando relaciones trigonométricas sencillas se llega a:

polares cartesianas cartesianas polares

en tres dimensiones, como ya se ha comentado, se necesitan tres parámetros para definir el vector. las coordenadas cartesianas son ahora las proyecciones del vector sobre cada uno de los ejes xyz y de forma análoga al caso anterior se suele representar el vector como (vx, vy, vz). las coordenadas polares reciben el nombre de coordenadas esféricas y están constituidas por el módulo del vector (v), el ángulo que forma con el eje z y el ángulo que la proyección del vector sobre el plano xy forma con el eje x (ver figura).

el modo de pasar de unas coordenadas a otras es el siguiente:

esféricas cartesianas cartesianas esféricas

para que dos vectores sean iguales han de tener las mismas componentes, independientemente del sistema de coordenadas en que se expresen.

vector unitario. vectores constituyentes: un vector es unitario si tiene módulo 1. para calcular un vector unitario a partir de uno dado, se divide éste por su módulo. el resultado es un vector de módulo 1 y con la misma

dirección y sentido que el vector original.

pueden definirse vectores unitarios en las direcciones de los ejes y que apunten en el sentido positivo de los mismos. estos vectores se denominan para los ejes x, y, z respectivamente.

cualquier vector v se puede expresar en términos de sus proyecciones a lo largo de los ejes y de estos vectores unitarios. por ejemplo, en tres dimensiones:

donde vx, vy, vz son dichas proyecciones (o componentes cartesianas). los vectores se denominan vectores constituyentes del vector . en dos dimensiones:

1.2 operaciones con vectores y sus propiedades.

suma de vectores

sean dos vectores

se define el vector suma como:

w =

en dos dimensiones podemos calcular w gráficamente de la siguiente manera:

del dibujo se puede deducir que el módulo del vector suma no es igual a la suma de los módulos de los vectores. la suma de vectores tiene la propiedad conmutativa

para calcular el vector resta , se calcula cada componente restando a cada componente de u la componente correspondiente del vector v (ver figura):

1.3 producto escalar y vectorial.

producto de un escalar por un vector

sea un escalar. el producto r = c u se calcula

r =

el resultado de esta operación es otro vector cuyo módulo es el producto del módulo de u por el escalar c. la dirección de r es la misma que la de u, y el sentido es el mismo si c es positivo y opuesto si c es negativo.

producto escalar de dos vectores

sean dos vectores que forman un ángulo .

se define el producto escalar

el resultado de esta operación no es un vector, es un escalar. el producto escalar cumple la propiedad conmutativa.

de esta definición se deduce que el producto escalar de dos vectores perpendiculares es siempre nulo y que el de dos vectores paralelos es el producto de sus módulos.

para los vectores unitarios i, j, k resultan las siguientes relaciones:

en el caso de que los vectores estén expresados en componentes y utilizando las relaciones anteriores se obtiene que el producto escalar se calcula:

producto

...