Puntos y vectores en Rn

Puntos y vectores en Rn

En el Tema 1 hemos visto lo que es un par o 2-upla de R2, una 3-upla de R3 y en general una n-upla de Rn. En principio, tanto uplas como matrices son objetos matem´aticos que permiten organizar y analizar los datos o informaci´on de los problemas que estemos estudiando. Veremos aqu´ı, sin embargo, que adema´s de un medio para estructurar datos, los elementos de Rn admiten una representaci´on e interpretaci´on geom´etrica y son la herramienta matem´atica b´asica para la manipulaci´on de puntos, coordenadas, vectores, planos, rectas y otros muchos elementos indispensables tanto en matem´aticas como en otras materias.

De este modo, aunque hasta ahora nos hemos centrado en el aspecto algebraico, en este tema estamos interesados en el aspecto geom´etrico de los conceptos que hemos introducido en los cap´ıtulos anteriores. No solamente estudiaremos el aspecto geom´etrico de los elementos de Rn de forma aislada sino que tambi´en analizaremos las propiedades de ciertos subconjuntos de Rn que pueden definirse mediante una ecuaci´on y que estamos acostumbrados a manejar de una u otra forma, hablamos aqu´ı de rectas, planos, esferas y en general de las figuras geom´etricas habituales.

3.1 Puntos y vectores en Rn. Interpretaci´on geom´etrica

Los elementos de Rn admiten principalmente dos representaciones geom´etricas. Una de ellas, como punto de una recta, plano o espacio y otra como vector o segmento orientado. En realidad, de forma efectiva, solamente es posible representar geom´etricamente los conjuntos R2 y R3 y, de forma m´as limitada, R4. Sin embargo, por extensi´on aplicaremos estas ideas geom´etricas de punto y vector a R5, R6 y en general a Rn. Comencemos viendo las t´ecnicas para la representaci´on en forma de punto en R2 y R3 para pasar luego a estudiar el concepto de vector.

3.1.1 Puntos en Rn

La primera forma en que podemos representar una upla es en forma de punto. Veamos primero los casos m´as importantes de R2 y R3 para ver despu´es, en general, Rn.

Puntos en R2. El plano real

Los elementos de R2 son 2-uplas o pares como por ejemplo (2,3), (3,−1), (0,4). Su representaci´on se efectu´a sobre un plano en el cual trazamos dos ejes perpendiculares, uno horizontal, usualmente denominado eje de abcisas, y otro vertical, denominado eje de ordenadas que se cortan en un punto denominado origen u origen de coordenadas. El primer nu´mero del par se representa en el eje horizontal y el segundo en el vertical. As´ı, para representar la upla gen´erica (x,y) marcaremos x en el eje horizontal y marcaremos y en el vertical del siguiente modo:

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( , ) x y

x

y

El eje horizontal suele denominarse tambi´en eje x y el vertical, eje y.

De forma intuitiva, representar un par equivale a dar coordenadas sobre un plano topogr´afico. El primer nu´mero del par indicar´a la posici´on este-oeste y el segundo la norte-sur. Los signos negativos en la primera componente del par indicar´an que el punto se situ´a al oeste del origen y en el caso de la segunda componente el signo negativo indicar´a las posiciones al sur del origen.

x

y

Veamos algunos ejemplos concretos de representaci´on de puntos de R2.

Ejemplos 1. 1) Para representar la 2-upla (3,2), nos desplazaremos respecto al origen 3 unidades en el eje horizontal y 2 en el vertical, tal y como se indica en el gr´afico.

1 2 3 4

- 0.5

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

( 3 , 2 )

Utilizando el s´ımil de las coordenadas topogr´aficas, podr´ıamos decir que el punto (3,2) se encuentra situado 3 unidades al este del origen y dos unidades al norte.

106

2) La idea para representar cualquier otra 2-upla es la misma. En este caso representamos las uplas (−2,2), (−2,2) y (3,−1). V´ease c´omo el signo negativo en la primera componente indica que el punto esta´ a la izquierda del origen mientras que el signo menos en la segunda componente corresponde a puntos por debajo del origen (recordemos que los nu´meros que componen una upla o matriz se denominan elementos o tambi´en componentes).

-

3

-

2

-

1 1 2 3 4

-

2

-

1

1

2

3

(3,−1)

(−2,2)

(−1,2)

Como vemos, la representaci´on de las uplas de R2 se realiza sobre un plano, es por ello que habitualmente se denomina a R2 como ’plano real’. Los ejes que utilizamos para representar las coordenadas de cada upla dividen al plano real en cuatro ´areas denominadas cuadrantes que se numeran de primero a cuarto tal y como se refleja en el siguiente gr´afico. El signo negativo o positivo de sus componentes determina en qu´e cuadrante se situa cada upla de R2.

-

3

-

2

-

1 1 2 3

-

3

-

2

-

1

1

2

3

Primer cuadrante. Signos: (+,+)

Segundo cuadrante. Signos: (−,+)

Cuarto cuadrante. Signos: (+,−)

Tercer cuadrante. Signos: (−,−)

Puntos en R3.

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