Puntos y vectores en Rn

Puntos y vectores en Rn

En el Tema 1 hemos visto lo que es un par o 2-upla de R2, una 3-upla de R3 y en general una n-upla de Rn. En principio, tanto uplas como matrices son objetos matem´aticos que permiten organizar y analizar los datos o informaci´on de los problemas que estemos estudiando. Veremos aqu´ı, sin embargo, que adema´s de un medio para estructurar datos, los elementos de Rn admiten una representaci´on e interpretaci´on geom´etrica y son la herramienta matem´atica b´asica para la manipulaci´on de puntos, coordenadas, vectores, planos, rectas y otros muchos elementos indispensables tanto en matem´aticas como en otras materias.

De este modo, aunque hasta ahora nos hemos centrado en el aspecto algebraico, en este tema estamos interesados en el aspecto geom´etrico de los conceptos que hemos introducido en los cap´ıtulos anteriores. No solamente estudiaremos el aspecto geom´etrico de los elementos de Rn de forma aislada sino que tambi´en analizaremos las propiedades de ciertos subconjuntos de Rn que pueden definirse mediante una ecuaci´on y que estamos acostumbrados a manejar de una u otra forma, hablamos aqu´ı de rectas, planos, esferas y en general de las figuras geom´etricas habituales.

3.1 Puntos y vectores en Rn. Interpretaci´on geom´etrica

Los elementos de Rn admiten principalmente dos representaciones geom´etricas. Una de ellas, como punto de una recta, plano o espacio y otra como vector o segmento orientado. En realidad, de forma efectiva, solamente es posible representar geom´etricamente los conjuntos R2 y R3 y, de forma m´as limitada, R4. Sin embargo, por extensi´on aplicaremos estas ideas geom´etricas de punto y vector a R5, R6 y en general a Rn. Comencemos viendo las t´ecnicas para la representaci´on en forma de punto en R2 y R3 para pasar luego a estudiar el concepto de vector.

3.1.1 Puntos en Rn

La primera forma en que podemos representar una upla es en forma de punto. Veamos primero los casos m´as importantes de R2 y R3 para ver despu´es, en general, Rn.

Puntos en R2. El plano real

Los elementos de R2 son 2-uplas o pares como por ejemplo (2,3), (3,−1), (0,4). Su representaci´on se efectu´a sobre un plano en el cual trazamos dos ejes perpendiculares, uno horizontal, usualmente denominado eje de abcisas, y otro vertical, denominado eje de ordenadas que se cortan en un punto denominado origen u origen de coordenadas. El primer nu´mero del par se representa en el eje horizontal y el segundo en el vertical. As´ı, para representar la upla gen´erica (x,y) marcaremos x en el eje horizontal y marcaremos y en el vertical del siguiente modo:

105

( , ) x y

x

y

El eje horizontal suele denominarse tambi´en eje x y el vertical, eje y.

De forma intuitiva, representar un par equivale a dar coordenadas sobre un plano topogr´afico. El primer nu´mero del par indicar´a la posici´on este-oeste y el segundo la norte-sur. Los signos negativos en la primera componente del par indicar´an que el punto se situ´a al oeste del origen y en el caso de la segunda componente el signo negativo indicar´a las posiciones al sur del origen.

x

y

Veamos algunos ejemplos concretos de representaci´on de puntos de R2.

Ejemplos 1. 1) Para representar la 2-upla (3,2), nos desplazaremos respecto al origen 3 unidades en el eje horizontal y 2 en el vertical, tal y como se indica en el gr´afico.

1 2 3 4

- 0.5

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

( 3 , 2 )

Utilizando el s´ımil de las coordenadas topogr´aficas, podr´ıamos decir que el punto (3,2) se encuentra situado 3 unidades al este del origen y dos unidades al norte.

106

2) La idea para representar cualquier otra 2-upla es la misma. En este caso representamos las uplas (−2,2), (−2,2) y (3,−1). V´ease c´omo el signo negativo en la primera componente indica que el punto esta´ a la izquierda del origen mientras que el signo menos en la segunda componente corresponde a puntos por debajo del origen (recordemos que los nu´meros que componen una upla o matriz se denominan elementos o tambi´en componentes).

-

3

-

2

-

1 1 2 3 4

-

2

-

1

1

2

3

(3,−1)

(−2,2)

(−1,2)

Como vemos, la representaci´on de las uplas de R2 se realiza sobre un plano, es por ello que habitualmente se denomina a R2 como ’plano real’. Los ejes que utilizamos para representar las coordenadas de cada upla dividen al plano real en cuatro ´areas denominadas cuadrantes que se numeran de primero a cuarto tal y como se refleja en el siguiente gr´afico. El signo negativo o positivo de sus componentes determina en qu´e cuadrante se situa cada upla de R2.

-

3

-

2

-

1 1 2 3

-

3

-

2

-

1

1

2

3

Primer cuadrante. Signos: (+,+)

Segundo cuadrante. Signos: (−,+)

Cuarto cuadrante. Signos: (+,−)

Tercer cuadrante. Signos: (−,−)

Puntos en R3. El espacio real

Cada elemento de R3 o 3-upla tiene 3 componentes (por ejemplo (3,2,1) es una 3-upla cuya primera com- ponente es 3, la segunda es 2 y la tercera es 1). Para representar R3 necesitamos un espacio tridimensional en el que trazamos tres ejes perpendiculares que se cruzan en un punto que llamamos nuevamente origen. Cada una de las tres componentes de una tres upla se representar´a en el eje que le corresponde. Los dos ejes horizontales son para las dos primeras componentes y el eje vertical es para la tercera. Nuevamente, el signo negativo de las componentes indicar´a a qu´e lado del origen, en cada eje, se situ´a el punto que representa a la upla en cuesti´on.

As´ı por ejemplo, para representar una 3-upla gen´erica, (x,y,z), marcaremos cada una de las tres compo- nentes en su eje tal y como se indica en el siguiente esquema.

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( , , ) x y z

x

y

z

De hecho, los tres ejes suelen denominarse ejes x, y y z, siendo el eje x el que se utiliza para representar la primera componente, el eje y para la segunda y el eje z para la tercera. Si regresamos al s´ımil topogr´afico que hemos utilizado en el caso de R2, ahora, representar una 3-upla equivaldr´ıa m´as bien a dar las coordenadas de un avi´on en vuelo. Para ello necesitar´ıamos dos nu´meros que fijaran su posici´on este-oeste y norte-sur (las dos primeras componentes de la 3-upla, es decir, la x y la y) pero adem´as, para situar completamente el avi´on, deberemos indicar tambi´en su altitud para lo cual precisamos un nu´mero m´as (la tercera componente de la upla, la z). Por tanto para dar la posicio´n del avi´on necesitamos un eje m´as para indicar la altura y pasamos de una representaci´on en el plano a una tridimensional en el espacio.

x

y

x

y

z

En el siguiente ejemplo materializamos todas estas ideas.

Ejemplo 2. En los siguientes gr´aficos representemos las 3-uplas (3,2,1), (3,−2,2) y (3,−2,−1) de R3:

0

1

2

3

4

-

2

0

2

4

-

1

0

1

2

3

(3,2,1)

0

1

2

3

4

-

2

0

2

4

-

1

0

1

2

3

(3,−2,2)

0

1

2

3

4

-

2

0

2

4

-

1

0

1

2

3

(3,−2,−1)

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Puntos en Rn. Espacio real n-dimensional

Hemos visto que para representar una 2-upla de R2 necesitamos dos ejes perpendiculares dentro de un plano, por su lado, la representaci´on de las 3-uplas de R3 se realiza sobre tres ejes perpendiculares dentro del espacio tridimensional. Utilizando estas ideas podr´ıamos intentar imaginar cu´al ser´ıa la representaci´on de un 4-upla de R4, de una 5-upla de R5 o en general de una n-upla de Rn. El problema ahora es que para representar una 4-upla necesitar´ıamos cuatro ejes perpendiculares dentro de un espacio cuatridimensional y tal cosa no es materializable en la realidad ya que evidentemente nos movemos dentro de un espacio que ‘u´nicamente’ es tridimensional. Dicho de otro modo, no es posible realizar una representaci´on efectiva de las uplas de R4, R5 o, en general, de Rn. A pesar de ello, las ideas que hemos utilizado para R2 y R3 nos permiten imaginar o intuir que esas uplas de R4, R5 o de Rn se representan igualmente como puntos trazados sobre un sistema de 4, 5 o n ejes perpendiculares dentro de un espacio n-dimensional. Es por ello que Rn se denomina espacio n-dimensional real y a sus uplas las llamamos tambi´en puntos ya que podemos imaginar su representaci´on en forma de punto.

3.1.2 Vectores de Rn

Un vector es un segmento orientado con una direcci´on, un sentido y una longitud concretas. Dicho de un modo m´as convencional, un vector es lo que en lenguaje habitual denominar´ıamos una flecha. Un elemento de Rn se puede representar como punto tal y como hemos estudiado en la seccio´n anterior. Pero adem´as, puede tambi´en ser representado como un vector o flecha. El vector correspondiente a la upla (a1,a2,...,an) de Rn ser´a aquel que parte del origen y llega hasta el punto de Rn determinado por ´el mismo.

Ejemplos 3. 1) En el siguiente gr´afico mostramos todos los elementos (direcci´on, sentido,

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