Definición de diferencial y su interpretación geométrica y algebraica

TEMA 1

1.1 Definición de diferencial y su interpretación geométrica y algebraica

Si una variable “y” depende del tiempo “t”, entonces se denomina “razón de cambio con respecto al tiempo” o “tasa de cambio” (1), donde y son llamados “diferenciales”. Los cuales representan incrementos o decrementos.

Ejemplos de tasas de cambio:

Tasas de cambio Expresión algebraica

La tasa a la cual el agua fluye a un depósito. Diferencial de volumen

La tasa a la cual el área de un derrame de petróleo está creciendo. Diferencial de Área

La tasa a la cual el costo de una propiedad está aumentando. Diferencial de Costo

Como podrás observar, el uso de las tasas de cambio en nuestra vida cotidiana prácticamente no tiene límite, podemos obtener la que necesitemos. Todas están con respecto al “tiempo”, ya que de esta forma se miden los cambios de cualquier índole.

Ejemplo:

Una lámina de metal cuadrangular, expuesta a altas temperaturas, se dilatan sus lados a razón de 0.0625 centímetros por hora. ¿Qué tan rápido está aumentando al área cuando uno de sus lados mide 4 centímetros?

La diferencial del cambio de longitud con respecto al tiempo es

El área de un cuadrangular es

Derivando la función en ambos lados

Sustituyendo los valores.

Longitud:

Diferencial del cambio de longitud con respecto al tiempo:

Y resolviendo las operaciones, tenemos:

1.2 Aplicaciones del diferencial

A continuación te proporcionamos el formulario con el cual podrás realizar las derivadas de las funciones, te recomendamos imprimirlo para tenerlo a la mano cuando realices los ejercicios.

Función constante

Función identidad

Función potencia

Regla del producto

Regla para el cociente

Funciones trigonométricas

Regla de la cadena

Función logaritmo natural, Función exponencial y exponencial base “a”

A continuación te explicaremos una a una las fórmulas y daremos ejemplos para una mejor comprensión.

Función constante:

Ejemplos:

La derivada de una función constante es siempre cero.

Donde “k” representa cualquier número.

1.

2.

3.

Función identidad:

Ejemplos:

La derivada de una función identidad es la unidad, cuando a esta función le precede un coeficiente constante, entonces el resultado es el número ya que la unidad multiplicada por el número da como resultado el mismo número.

1.

2.

3.

Función potencia:

Ejemplos:

La forma de derivar la función potencia es multiplicando el cociente por el exponente y al exponente se le resta la unidad.

1.

2.

3.

Regla del Producto:

Ejemplos:

La derivada de una multiplicación de funciones se realiza multiplicando la derivada de la función “f” por la función “g” más la función “f” por la derivada de “g”.

1)

2)

3)

4)

Regla del cociente:

Ejemplos:

La derivada de una división de funciones se realiza multiplicando la derivada de la función “f” por la función “g” menos la función “f” por la derivada de “g” y todo esto dividido entre la función “g” elevada al cuadrado. No es necesario elevar al cuadrado el denominador en el resultado, sólo hay que dejarlo indicado.

Funciones

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