Demostración: la fuerza gravitacional sobre el objeto

Al igual que en la demostración anterior, podemos descomponer la fuerza gravitacional sobre el objeto en dos componentes: uno paralelo al plano y otro perpendicular al plano. El componente paralelo es igual al peso del objeto multiplicado por sen() y se denota como Fc. El componente perpendicular es igual al peso del objeto multiplicado por cos() y se denota como Fn.[pic 1][pic 2]

Fc = m * g * sen()[pic 3]

Fn = m * g * cos()[pic 4]

donde m es la masa del objeto y g es la aceleración debido a la gravedad.

La fuerza de fricción se puede expresar como FR = μ * N, donde μ es el coeficiente de fricción y N es la fuerza normal sobre el objeto. La fuerza normal es igual al componente perpendicular del peso, es decir, N = Fn.

FR = μ * Fn

Podemos usar las mismas identidades trigonométricas que en la demostración anterior para expresar Ff en términos de Fc y FR.

Ff = Fc * sen() + FR * cos() [pic 5][pic 6]

= m * g * sen() * sen(gamma) + μ * m * g * cos() * sen() + m * g * cos() * cos() + μ *m * g * cos() * cos() [pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13]

= m * g * (sen()^2 + cos()^2) + μ * m * g * cos() * sen() [pic 14][pic 15][pic 16][pic 17]

= m * g + μ * m * g * cos() * sin()[pic 18][pic 19]

Para Fm, podemos usar la misma expresión que en la demostración anterior.

Fm = Fc * cos() - FR * sen() = (m * g * sen()) * cos() - (μ * m * g * cos()) * sen() [pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25]

= m * g * (sen() * cos() - μ * cos() * sen()) [pic 26][pic 27][pic 28][pic 29]

= m * g * cos() * (sen() - μ)[pic 30][pic 31]

Por lo tanto, las ecuaciones son:

Ff = m * g + μ * m * g * cos() * sen() [pic 32][pic 33]

Fm = m * g * cos() * (sen() - μ)[pic 34][pic 35]

Estas ecuaciones describen las fuerzas que actúan sobre el objeto a lo largo y perpendicular al plano, y se pueden usar para determinar el movimiento del objeto bajo la influencia de estas fuerzas.

r = (lc*sin(phi))/(lc*cos(phi-mu))

  = (lc*sin(arctan((r*cos(mu))/(1-r*sin(mu)))))/(lc*cos(arctan((r*cos(mu))/(1-r*sin(mu)))-mu))

Para simplificar esta expresión, podemos usar las siguientes identidades trigonométricas:

sin(arctan(x)) = x / sqrt(1 + x^2)

cos(arctan(x)) = 1 / sqrt(1 + x^2)

Usando estas identidades, podemos reescribir la expresión como:

r = (lc*(r*cos(mu)/(1-r*sin(mu))))/(lc*(1/(sqrt(1 + (r*cos(mu)/(1-r*sin(mu)))^2)))*cos(arctan((r*cos(mu))/(1-r*sin(mu)))-mu))

Simplificando aún más, podemos cancelar los lc términos y simplificar la expresión dentro de la función coseno:

r = (r*cos(mu)/(1-r*sin(mu))) / (sqrt(1 + (r*cos(mu)/(1-r*sin(mu)))^2)*cos(arctan((r*cos(mu))/(1-r*sin(mu)))-mu))

  = (r*cos(mu)/(1-r*sin(mu))) / (sqrt(1 + r^2*cos(mu)^2/(1-2*r*sin(mu)+r^2*sin(mu)^2))*cos(arctan((r*cos(mu))/(1-r*sin(mu)))-mu))

  = (r*cos(mu)/(1-r*sin(mu))) / (sqrt((1-r*sin(mu))^2 + r^2*cos(mu)^2)*cos(arctan((r*cos(mu))/(1-r*sin(mu)))-mu))

A continuación, podemos usar la identidad tan(a-b) = (tan(a) - tan(b)) / (1 + tan(a)*tan(b))para simplificar la expresión dentro de la función coseno:

r = (r*cos(mu)/(1-r*sin(mu))) / (sqrt((1-r*sin(mu))^2 + r^2*cos(mu)^2)*((cos(mu) - r*sin(mu)/(1-r*sin(mu))) / (1 + r*cos(mu)/(1-r*sin(mu)))))

  = (r*cos(mu)/(1-r*sin(mu))) / (sqrt((1-r*sin(mu))^2 + r^2*cos(mu)^2)*((1-r*sin(mu))*cos(mu) - r*sin(mu)) / ((1-r*sin(mu)) + r*cos(mu))))

...