Diagrama De Fases Ciclohexano

Deducción de las expresiones cinemáticas para un proyectil considerando la fuerza de fricción proporcional a la velocidad del móvil

Descripción de la trayectoria r ⃗(t)=x(t)i+y(t)j

Cualquier vector tangente a la trayectoria d/dt r ⃗=dx/dt i+dy/dt j

La magnitud de la fuerza de fricción y su relación con el vector velocidad

R=1/2 DρAv^2 R ⃗(t)=α d/dt r ⃗

Si la masa es constante por segunda ley de Newton

∑▒〖F ⃗=ma ⃗ 〗 (F_g ) ⃗+(F_R ) ⃗=ma ⃗ -mgj+(R_x i+R_y j)=m(a_x i+a_y j)

R_x i+(-mg+R_y )=ma_x i+ma_y j

De esta forma

R_x=ma_x y -mg+R_y=ma_y

Pero por la relación entre el vector de fuerza resistiva del aire y velocidad del móvil. Asimismo tomando en cuenta la definición de aceleración como una tasa de cambio.

α dx/dt=m (d^2 x)/〖dt〗^2 y -mg+α dy/dt=m (d^2 y)/〖dt〗^2

Y se obtienen las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden.

Componente x

Ecuación diferencial lineal homogénea

(d^2 x)/〖dt〗^2 -α/m dx/dt=0

Solución de la forma x(t)=C_1 x_1 (t)+C_2 x_2 (t) donde x_1 (t) y x_2 (t) son funciones exponenciales.

x(t)=e^bt, dx/dt=be^bt, (d^2 x)/〖dt〗^2 =b^2 e^bt

Al sustituir

b^2 e^bt-α/m be^bt=0, e^bt 〖(b〗^2-α/m b)=0, e^bt≠0 para todo b real b=0 ó b=α/m

La solución a la ecuación diferencial es

x(t)=C_1+C_2 e^(α/m t)

El valor inicial será x(0)=0 dx/dt=v_0 cosθ

Así

x(t)=(-mv_0 cosθ)/α [1-e^(α/m t) ]

Componente y

Ecuación diferencial lineal no homogénea

(d^2 x)/〖dt〗^2 -α/m dx/dt=-g

Solución de la forma y(t)=〖y(t)〗_c+〖y(t)〗_p, la función complementaria 〖y(t)〗_c se obtiene como si fuera una ED lineal homogénea y corresponde a

〖y(t)〗_c=C_1+C_2 e^(α/m t)

Para la solución particular se emplea el método de los coeficientes indeterminados

〖y(t)〗_p=AX^2+BX+C, 〖y'(t)〗_p=2AX+B, 〖y''(t)〗_p=2A

Al sustituir en la ED

[2A]-α/m [2AX+B]=-g

Se plantea el sistema de ecuaciones y se encuentra la solución particular.

-α/m [2A]=0 ⇒ A=0, [2A]-α/m B=g ⇒ B=mg/α,

La solución a la ecuación diferencial es

y(t)=C_3+C_2 e^(α/m t)+mg/α t,

El valor inicial será x(0)=0 dy/dt=v_0 senθ

Así

y(t)=[(-mv_0 senθ)/α+g(m/α)^2 ][1-e^(α/m t) ]+mg/α t

Determinar el valor de α

R_x=α dx/dt, R_x=α[v_0 cosθe^(α/m t) ] y en t=0 s R_x=R cos⁡(θ+180°)=-R cos⁡θ

Así

-R cos⁡θ=αv_0 cosθ, y el valor de α es α=-R/v_0

Finalmente las funciones cinemáticas son

r ⃗(t)=(m〖v_0〗^2 cosθ)/R [1-e^((-R)/(mv_0 ) t) ]i+[[(m〖v_0〗^2 senθ)/R+g((mv_0)/R)^2 ][1-e^((-R)/(mv_0 ) t) ]-(mgv_0)/R t]j [m]

r ⃗^' (t)=v(t)=v_0 cosθe^((-R)/(mv_0 ) t) i+[[v_0 senθ+(gmv_0)/R] e^((-R)/(mv_0 ) t)-(mgv_0)/R]j [m/s]

r ⃗^''(t)=a(t)=(-R)/m cosθe^((-R)/(mv_0 ) t) i-[[R/m senθ+g] e^((-R)/(mv_0 ) t) ]j [m/s^2 ]

Probando con 30°, m=9.6226x10-3 kg, v0=4.84 m/s y R=1.12x10-4N, g=9.72 m/s2

r ⃗(t)=1742.673[1-e^(-(〖2.4046x10〗^(-3))t) ]i+[1.68205x〖10〗^6 [1-e^(-(〖2.4046x10〗^(-3))t) ]-4042.25t]j

Alcance máximo x_máx=2.07411 m

Probando

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