Distribucion Binominal

En estadística, la distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que cuenta el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos. Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo son posibles dos resultados. A uno de estos se denomina éxito y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una probabilidad q = 1 - p. En la distribución binomial el anterior experimento se repite n veces, de forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado número de éxitos. Para n = 1, la binomial se convierte, de hecho, en una distribución de Bernoulli.

Para representar que una variable aleatoria X sigue una distribución binomial de parámetros n y p, se escribe:

La distribución binomial es la base del test binomial de significación estadística.

Índice

Ejemplos

Experimento binomial

Características analíticas

Ejemplo

Propiedades

Relaciones con otras variables aleatorias

Propiedades reproductivas

Referencias

Enlaces externos

EjemplosEditar

Las siguientes situaciones son ejemplos de experimentos que pueden modelizarse por esta distribución:

Se lanza un dado diez veces y se cuenta el número X de tres obtenidos: entonces X ~ B(10, 1/6)

Se lanza una moneda dos veces y se cuenta el número X de caras obtenidas: entonces X ~ B(2, 1/2)

Experimento binomialEditar

Existen muchas situaciones en las que se presenta una experiencia binomial. Cada uno de los experimentos es independiente de los restantes (la probabilidad del resultado de un experimento no depende del resultado del resto). El resultado de cada experimento ha de admitir sólo dos categorías (a las que se denomina éxito y fracaso). Las probabilidades de ambas posibilidades han de ser constantes en todos los experimentos (se denotan como p y q o p y 1-p).

Se designa por X a la variable que mide el número de éxitos que se han producido en los n experimentos.

Cuando se dan estas circunstancias, se dice que la variable X sigue una distribución de probabilidad binomial, y se denota B(n,p).

Características analíticasEditar

Su función de probabilidad es

donde

siendo las combinaciones de en ( elementos tomados de en )

Ejemplo

Supongamos que se lanza un dado (con 6 caras) 50 veces y queremos conocer la probabilidad de que el número 3 salga 20 veces. En este caso tenemos una X ~ B(50, 1/6) y la probabilidad sería P(X=20):

PropiedadesEditar

Relaciones con otras variables aleatoriasEditar

Si tiende a infinito y es tal que el producto entre ambos parámetros tiende a , entonces la distribución de la variable aleatoria binomial tiende a una distribución de Poisson de parámetro .

Por último, se cumple que cuando =0.5 y n es muy grande (usualmente se exige que ) la distribución binomial puede aproximarse mediante la distribución normal.

Propiedades reproductivasEditar

Dadas n variables binomiales independientes de parámetros ni (i = 1,..., n) y , su suma es también una variable binomial, de parámetros n1+... + nn, y , es decir,

ReferenciasEditar

Hamza, K. (1995). The smallest uniform upper bound on the distance between the mean and the median of the binomial and Poisson distributions. Statist. Probab. Lett. 23 21–25.

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