Divisibilidad

DIVISIBILIDAD

La palabra divisibilidad, en matemáticas, se refiere a la parte de la aritmética, que estudia a las condiciones que han de tener los números, para ser divisibles por otros, es decir, que se pueden dividir exactamente. Este concepto es muy antiguo y surgió cuando el hombre tuvo la necesidad de repartir cosas entre varios.

El reparto, unas veces, era igual que todos (se obtiene un numero exacto de cosas para cada uno) a repartir, se pudiera dividir exactamente, entre el numero de los que iban a recibir esas cosas.

Para poder repartir de forma equitativa, es decir en partes iguales, necesitamos conocer el concepto de divisor.

Llamamos divisor de un número entero a cualquier otro numero por el cual se pueda dividir, exactamente, a ese numero.

Así pues diremos que 4 es un divisor de 16 porque al dividir 16 entre 4 obtenemos de resto 0.

Para encontrar los divisores de un número, realizamos todas las divisiones exactas, que tengan a este número como dividendo.

Es decir, buscamos todos los números que lo dividen exactamente.

15: 1= 15:3=,15=5 5 3, 15=1

Por tanto los divisores de 15 son 1, 3,5,15.

27: 1= 27, 27: 3= 9, 27: 9=3, 27:27=1

Y los divisores de 27 son: 1,3,9 27.

Los números primos son infinitos.

Si un numero no es primo diremos que es compuesto. El caso de los números 0 y 1 es especial, puesto que no se consideran primos ni compuestos.

Otro concepto importante, relacionado con el divisor, es el de multiplicando de un numero, que es el numero que obtenemos al multiplicar a ese numero por otro entero, así diremos que 18 es múltiplo de 9, porque 9x2= 18

Para hallar los múltiplos de un número, vamos multiplicando a ese número por la sucesión de números enteros, como hay infinitos números enteros, los múltiplos de un número también son infinitos.

Múltiplos de 8 menores de 50

8x2= 16, 8x3=24, 4x4=32, 8x5=40, 8x6= 48

Múltiplos de 9 menores de 50.

9x2= 18, 9x3=27, 9x4=36, 9x5=45

La división entre múltiplo y divisor es parecida a la relación de padre e hijo. SI José es padre de Luis, Luis es hijo de José. Por tanto, se cumple la relación siguiente.

Si el numero de 21 es múltiplo de 7, el numero de 7 es un divisor de 21.

Múltiplos de un Número:

Un numero a es múltiplo de otro b es el resultado de multiplicar este ultimo por otro numero c.

Dado un numero natural obtenemos un múltiplo de el al multiplicarlo por otro numero natural.

Ejemplo:

18= 2 9 18 es múltiplo de 2, ya que resulta de multiplicar 2 por 9.

Tabla del 1 Tabla del 2 Tabla del 3 Tabla del 4 Tabla del 5

1x1 = 1 2x1 = 2 3x1 = 3 4x1 = 4 5x1 = 5

1x2 = 2 2x2 = 4 3x2 = 6 4x2 = 8 5x2 = 10

1x3 = 3 2x3 = 6 3x3 = 9 4x3 = 12 5x3 = 15

1x4 = 4 2x4 = 8 3x4 = 12 4x4 = 16 5x4 = 20

1x5 = 5 2x5 = 10 3x5 = 15 4x5 = 20 5x5 = 25

1x6 = 6 2x6 = 12 3x6 = 18 4x6 = 24 5x6 = 30

1x7 = 7 2x7 = 14 3x7 = 21 4x7 = 28 5x7 = 35

1x8 = 8 2x8 = 16 3x8 = 24 4x8 = 32 5x8 = 40

1x9 = 9 2x9 = 18 3x9 = 27 4x9 = 36 5x9 = 45

1x10 = 10 2x10 = 20 3x10 = 30 4x10 = 40 5x10 = 50

Tabla del 6 Tabla del 7 Tabla del 8 Tabla del 9 Tabla del 10

6x1 = 6 7x1 = 7 8x1 = 8 9x1 = 9 10x1 = 10

6x2 = 12 7x2 = 14 8x2 = 16 9x2 = 18 10x2 = 20

6x3 = 18 7x3 = 21 8x3 = 24 9x3 = 27 10x3 = 30

6x4 = 24 7x4 = 28 8x4 = 32 9x4 = 36 10x4 = 40

6x5 = 5 7x5 = 35 8x5 = 40 9x5 = 45 10x5 = 50

6x6 = 36 7x6 = 42 8x6 = 48 9x6 = 54 10x6 = 60

6x7 = 42 7x7 = 49 8x7 = 56 9x7 = 63 10x7 = 70

6x8 = 48 7x8 = 56 8x8 = 64 9x8 = 72 10x8 = 80

6x9 = 54 7x9 = 63 8x9 = 72 9x9 = 81 10x9 = 90

6x10 = 60 7x10 = 70 8x10 = 80 9x10 = 90 10x10 = 100

Propiedades de los múltiplos de un número

Todo numero a, distinto es múltiplo de si mismo de la unidad.

El cero es el múltiplo de todos los números.

Todo número distinto de cero, tiene infinitos múltiplos.

Si a es múltiplo de b al dividir a entre b la división es exacta.

L a suma de varios múltiplos de un número es otro múltiplo de dicho número.

La diferencia de dos múltiplos de un número es otro múltiplo de dicho número.

Si un número es múltiplo de otro y este lo es de un tercero, el primero es múltiplo del tercero.

Si un número es múltiplo de otro, todos los múltiplos del primero lo son también del segundo.

Obtención de múltiplos

Como vimos para que un número sea múltiplo de otro, tiene que contener todos sus factores primos, de ambos números.

Veamos el ejemplo:

Descomponemos en factores primos 32 y 12.

32= 2. 2. 2. 2. 2. 2. =25

12=2. 2. 3=22 .

El mcm, de 12 y 32 tiene que contener todos los factores primos de ambos el menos numero de veces posible (25, 22 y 3, pero 22 ya esta contenido en 25)

Observa que para tener el m.c.m. se multiplican los factores primos comunes y no comunes que aparecen en las dos descomposiciones elevados al mayor exponente.

m.c.m. (12, 32) = 25 . 3=96

Para obtener el mínimo común múltiplo de dos o más numero, se procede de la siguiente manera:

Se descomponen los números en factores primos.

Se multiplican todos los factores que aparecen en las descomposiciones, elevando cada uno al mayor exponente con el que figuran en ellas.

DIVISORES DE UN NÚMERO

Los divisores de un numero natural son los números naturales que lo pueden dividir, resultando de cociente otro numero natural y de resto 0.

Ser divisor es lo reciproco a ser múltiplo. Si 9 es múltiplo de 3, entonces 3 es divisor de 9.

Los divisores de un número natural le pueden dividir, su división es exacta.

Cada número tiene una cantidad concreta de divisores. El numero 1 tiene solo un divisor, el mismo.

Solamente el 0 tiene infinito número de divisores, ya que todos los números son divisores de 0.

NUMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS

Al comprobar cuantos divisores tienen los números observamos que:

El 1 es el único número que solamente tiene un divisor, por eso es un número especial.

El 0 tiene infinito numero de divisores, ya que todos los números son divisores de 0, también es un numero especial.

Los números primos son los que tienen dos divisores, que son el 1 y el mismo numero primo.

Los compuestos son los que tienen más de dos divisores, son los más frecuentes.

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Podemos saber fácilmente si un número es divisible por otro sin necesidad de hacer la división, observando estas características:

Los múltiplos de 2 terminan en 0, 2, 4,6 o en 8.

Los múltiplos de 5 terminan en 0 o 5.

Los múltiplos de 10 terminan en 0.

En los múltiplos de 11 si sumamos los valores individuales de las cifras que están en posiciones par, aparte sumamos los valores individuales de las cifras que están en posiciones impar, restamos esas cantidades nos da un múltiplo de 11, ( el 0 también lo es).

SISTEMA DE NUMERACION

A lo largo de la historia de la humanidad, el ser humano ha buscado diferentes maneras de representar cantidades. Si nos remontamos hacia mas de dos mil años, los pueblos de aquella época no utilizaban números para contar objetos, sino que hacían uso de cualquier elemento que pudiera servirles para contar, ya sea utilizando sus propios dedos, dibujando símbolos, marcando bastones (ramas) o haciendo nudos en una cuerda, entre otros.

Ahora bien, el primero uso que se le dio a los números, se relaciona con la necesidad de ordenar elementos, no con la de contar o medir objetos.

A continuación veremos los 5 sistemas de numeración mas característicos de la historia, reconociendo sus elementos principales y los símbolos que ellos utilizaron para representar las cantidades indicadas.

SISTEMA DE NUMERACION EGIPCIO (3000 a.C.)

Si hay algo que hasta el día de hoy sigue vigente es la cultura egipcia. Esto no se debe meramente al azar, sino que responde al gran legado cultural que nos dejaron, ya sea por sus monumentales construcciones como por sus conocimientos y descubrimientos en agricultura, arte y matemática.

En relación con este ultimo, podemos ver que los egipcios se vieron enfrentados a la necesidad de realizar cálculos y considerar dimensiones para, por ejemplo, llevar a cabo sus construcciones, situación que los desafío a encontrar algún modo de representar las cantidades utilizadas. Además, vemos que representaron las cifras utilizadas en papiros, dándoles a estas un uso practica, relacionados principalmente con la geometría y la aritmética.

Los egipcios tenían un sistema de numeración decimal, (contaban de 10 en 10, lo cual se asocia con que tengamos 10 dedos), no utilizaban símbolos para representar el cero y relazaban jeroglíficos que les permitían identificar en orden en que agrupaban las unidades en las cuales estaban trabajando.

Por otro lado, ellos utilizaban un procedimiento aditivo para representar los números, en donde acumulaban todos los signos pertenecientes al número que querían representar y formaban con ello el número.

Es importante mencionar que el orden en que se escribían los símbolos utilizados les era indiferente, debido a que cada figura representaba exclusivamente un único valor. De esta manera, independiente del orden en que estos se presentaban, el valor

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