Actividades. Criterios de divisibilidad

Múltiplo de un número: es el que lo contiene un número entero de veces. En otras palabras, un múltiplo de a es un número tal que, dividido por a, da por resultado un número entero (el resto de la división euclídea es cero). Los primeros múltiplos del uno al diez suelen agruparse en las llamadas tablas de multiplicar.

Propiedades de los múltiplos:

• Si a es un múltiplo de b, entonces b es un divisor de a.

• Todo número entero es múltiplo de 1 y de sí mismo.

• Cero (0) es múltiplo de cualquier número.

• Si a y b son múltiplos de n, entonces a+b, a-b, ka y kb lo son para cualquier k natural.

Divisores de un número: Un número b es un divisor de otro a cuando lo divide exactamente.

Por ejemplo, tenemos 36 bolígrafos y queremos hacer paquetes de modo que no sobre ningúno. Como los divisores de 36 son 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 y 36, podemos hacer paquetes de esas cantidades. Con cualquier otro valor nos quedarían bolígrafos sueltos (si hacemos paquetes de 5 en 5, nos sobraría un bolígrafo). 12 : 4 = 3 ; 4 es divisor de 12

Criterios de divisibilidad.

• Un número es divisible por 2, si termina en cero o cifra par

• Un número es divisible por 3, si la suma de sus dígitos es múltiplo de 3

• Un número es divisible por 4, si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 4

• Un número es divisible por 5, si termina en cero o cinco

• Un número es divisible por 6, si es divisible por 2 y por 3

• Un número es divisible por 7 cuando la diferencia entre el número sin la cifra de las unidades y el doble de la cifra de las unidades es 0 ó un múltiplo de 7. Ej. 343 ; 34 − 2 • 3 = 28

• Un número es divisible por 8, si sus tres últimas cifras son ceros o múltiplo de 8

• Un número es divisible por 9, si la suma de sus dígitos es múltiplo de 9

• Un número es divisible por 10, si la cifra de las unidades es 0

Números primos: es un número natural mayor que 1 que tiene únicamente dos divisores distintos él mismo y el 1. Los números primos menores que 100 son los siguientes: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97.

Números compuestos: son aquellos que tienen por lo menos un divisor natural distinto de sí mismos y de 1.

Descomposición de factores: Todo número natural no nulo puede descomponerse, de forma única, en producto de factores primos. Por ejemplo, 24 = 2*2*2*3, es decir, 24 = 23*3.

Divisores comunes: Los números 15 y 18 tienen un divisor o factor común que es el 3.

Múltiplos comunes: Ej. Los múltiplos de 4 son M(4)={4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, …}. Los múltiplos de 6 son M(6)={6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, …}. Múltiplos comunes: 24 y 36. 20 y 500 son múltiplos comunes de 4 y 5.

Múltiplo común menor: de dos o más números naturales es el menor número natural que es múltiplo de todos ellos. Partiendo de 2 o más números y por descomposición en factores primos, expresados como producto de factores primos, su mínimo común múltiplo será el resultado de multiplicar los factores comunes y no comunes elevados a la mayor potencia. Ej. el mcm de 72 y 50 será 1800. Mario va a la piscina cada seis días y Luisa, cada ocho. Hoy han coincidido los dos. ¿Dentro de cuántos días volverán a coincidir?

Máximo común divisor: de dos o más números enteros al mayor número entero que los divide sin dejar resto. El MCD son los factores comunes con su menor exponente, esto es. Ej. El MCD de 48 y de 60 es 12.

El conjunto de los números naturales (N): es cualquiera de los números que se usan para contar los elementos de un conjunto N = 0, 1, 2, 3…

Operaciones: suma, resta, multiplicación y división.

Supresión de paréntesis corchetes y llaves: Ej.

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