ECUACIONES DIFERENCIALES COMO MODELOS MATEMÁTICOS

ECUACIONES DIFERENCIALES COMO MODELOS MATEMÁTICOS

Un modelo matemático es la descripción matemática de un sistema de fenómenos y se construye con ciertos objetivos.

Con frecuencia es deseable describir en términos matemáticos el comportamiento de algunos sistemas o fenómenos de la vida real ya sean físicos sociológicos o incluso económicos. Como ejemplo esta la

Propagación de una enfermedad

Una enfermedad contagiosa por ejemplo un virus de gripe se propaga a través de una comunidad por personas que han estado en contacto con otras personas enfermas sea qué x(t) denote el número de personas que han contraído la enfermedad y sea qué y(t) denote el número de personas que han no han sido expuestas al contagio es lógico suponer que la razón dx/dt con la que se propaga la enfermedad es proporcional al número de encuentros interacciones entre estos dos grupos de personas si suponemos que el nombre interacciones es conjuntamente proporcional a x(t) y y(t) esto es proporcional al producto kxy.

La explicación del libro es muy completa sin embargo voy especificar que significa cada variable y constante[pic 1]

                                    x(t)= # De personas infectadas

        [pic 2][pic 3]

        =Razón de                     propagación[pic 4]

        y(t)= # De personas sanas

Modelo matemático queda

[pic 5]

K= Es una constante de proporcionalidad  que significa en que tanta proporción están conviviendo o interactuando los dos grupos de personas.

xy= Es la evaluación de la interacción con las personas sanas con las infectadas.

Esa es la manera general, para un modelo específico se toma en cuenta la población “n” teniendo base la forma general

[pic 6]

Si llega alguien infectado a una población definida se plantea una igualdad =

x+y=n+1 (el uno es la persona que llega infectada)

Partiendo de aquí se puede despejar y conseguir valores de alguna variable, principalmente la “y”. Se sustituye en la ecuación diferencial para tener todas las variables en función de “X”

[pic 7]

Y obtenemos una ecuación diferencial específica y se puede utilizar en diferentes problemas recordemos que a la población llega el primer infectado donde ahí se parte el tiempo, en el tiempo 0 había 1 infectado y quedaría x(0(tiempo))=1(infectado)

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