Ecuaciones de reacción-difusión

Ecuaciones de reacción-difusión

Un problema de difusión modela el movimiento de una densidad de individuos de una especie (bacterias, células, químicos) en un entorno cualquiera.1,2,7 El movimiento de u(t,x), o término difusivo, indica los cambios en la concentración desde puntos de mayor concentración hacia puntos de menor concentración.8,11,12 Este principio es conocido como Ley de Fick y se expresa de la siguiente forma (1):8

(1)

donde J es el vector de flujo de u(t,x), y D es el coeficiente de difusión.

A su vez, la reacción entre dos o más sustancias establecen un término reactivo adicional en la función de concentración u(t,x) denotado por f(t,x,u). De acuerdo al principio de conservación, la razón de cambio de la cantidad de materia contenida en un volumen V debe ser igual al flujo neto de materia a través de la superficie S que la delimita, más la cantidad de materia transformada al interior de V debido al término reactivo. Esto expresado matemáticamente es (2):

(2)

En (2) es el vector normal a la superficie S. Utilizando el teorema de la divergencia en el término difusivo y combinando (1) y (2) se obtiene (3):

La ecuación (3) corresponde a una ecuación integral definida en el dominio ?=V con condiciones de contorno definidas por la superficie =S que rodea al volumen V. Para garantizar que el patrón espacial formado se deba únicamente a la organización al interior del contorno, y no a flujos externos, se deben asumir condiciones de flujo en el contorno iguales a cero [6]. Expresando (3) en forma diferencial se obtiene (4): 2

(4)

La ecuación (4) se conoce como ecuación de reacción-difusión y permite, junto con las condiciones de contorno dadas, predecir la evolución de los individuos de la especie denotada por u(t,x). Aunque el análisis anterior es válido para un sistema de una única especie de individuos, el resultado puede extenderse a un sistema de varias especies de individuos denotando u(t,x) como u(t,x). 2,6,8

Modelos implementados

Existen diferentes modelos biológicos que permiten obtener una descripción matemática de fenómenos complejos presentes en la naturaleza.1, 3, 5, 8, 11 Dos modelos bien referenciados, formulados por ecuaciones de reacción difusión, son el modelo de Schnakenberg, o modelo de morfogénesis,1, 2, 8, 11 y el modelo de glucólisis,2, 8, 9 utilizado para explicar la síntesis de glucosa en energía celular. Estos dos modelos generan patrones espaciales y cumplen con los criterios de estabilidad de Turing analizados por otros autores.9 Un tercer modelo típicamente utilizado para ilustrar el movimiento celular consecuencia de la interacción química con el entorno es el modelo de quimiotaxis.7, 8 Este modelo tiene como solución una onda viajera.

Modelo de Schnakenberg

El modelo de Schnakenberg determina el comportamiento de un químico activador u en presencia de un químico inhibidor v. 1, 2 En su forma adimensional, el modelo está descrito por las siguientes ecuaciones (5):2

(5a)

(5b)

En la ecuación (5) el término 1 representa flujo, 2 representa producción, 3 representa consumo, 4 representa catálisis no lineal, y 5 representa difusión. Las constantes a, b, d y son todas parámetros positivos, con a y b valores adimensionales de producción, una constante adimensional y d un valor de difusión.2, 8 La reacción cinética es tal que en la ecuación (5a) el término 4 representa la producción de u en presencia de v, en tanto que en la ecuación (5b) el mismo término representa el consumo de v en presencia de u. El modelo se utiliza como base matemática para análisis de estabilidad y formación de patrones,2, 9 en la predicción de la interacción entre sistemas químicos moleculares 2, 11 y en la morfogénesis de formación y crecimiento de hueso. 2, 13

Modelo de Glucólisis

La glucólisis o glicólisis es el proceso de síntesis de la molécula de glucosa para proporcionar energía al metabolismo celular. A través de una secuencia de reacciones, la glucosa es transformada en piruvato y en ATP, unidad de intercambio metabólico en el organismo vivo [8]. Este proceso se describe matemáticamente en forma adimensional mediante las siguientes ecuaciones (6):2,8

(6a)

(6b)

En la ecuación (6) el término 1 representa flujo, 2 representa difusión, 3 representa producción, 4 representa degradación, 5 representa consumo no lineal, 6 representa activación no lineal, y 7 representa consumo. La interpretación biológica es similar al modelo de Schnakenberg, con u la concentración de glucosa, v la producción de piruvato, Du y Dv los coeficientes de difusión, el término u2v representando consumo no lineal de u y el término uv2 representando la activación no lineal de v. es un parámetro positivo que representa la constante de formación de glucosa. El parámetro k, también positivo, representa en (6a) el consumo natural de glucosa, mientras que en (6b) representa

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