El Mundo De La Trigonometria

En números complejos será:

Criterio de la división exacta:

(a+bi)/(c+di)=x+yital que (cx – dy) . (x +yi) = a + bi

esto es (cv – dy) + (cy + dx)i = a + bi

Igualando las partes reales y las partes imaginarias:

█(cx-dy=a@dx+cy=b@)/(c^2 x-cdy=ac)

(d^2 x-cdy=bd)/(x(c^2+ d^2 )=ac+bd)

Resolviendo el sistema y despejando x, y :

será: x=(ac+bd)/(c^2+d^2 );y=(bc-ad)/(c^2+ d^2 )

Si N= c^2+ d^2

El cociente será: x+yi= (ac+bd)/N+ (bc-ad)/N i

Criterio de Racionalización:El conjugado de (c+di)es (c-di)

(a+bi)/(c+di)= ((a+bi)(c-di))/((c+di)(c-di))= ((ac+bd)+(bc-ad)i)/(c^2+ d^2 )= (ac+bd)/N+((bc-ad)/N)i

b) Forma Trigonométrica:Usando el criterio de racionalización del denominador:

(p (cos⁡〖 ∝ +i sen ∝ )〗)/(p^' (cos⁡〖 ∝〗+isen ∝^' ) )= (p (cos⁡∝+isen∝)(cos∝-isen∝))/(p (cos⁡∝+isen∝)(cos⁡〖∝ -isen∝〗 ) )

=(p(cos⁡〖 ∝ .cos⁡〖 ∝ +sen ∝〗 〗 . sen ∝ )i +(sen ∝ .〖cos 〗⁡〖∝ 〗-sen ∝ .cos⁡〖 ∝ )〗)/(〖sen〗^2 ∝ +〖cos〗^2 ∝)

= p/p [cos⁡〖(∝-∝)+isen (∝-∝)〗 ]

Siendo el conjugado de ( cos⁡〖∝ +isen ∝)〗como cos⁡〖(-∝)〗+isen(-∝) o bien cos∝-isen∝

Asimismo 〖sen〗^2+〖cos〗^2=1

5. Elevación a Potencias:Si un producto de varios factores tienen iguales todos los factores, se tiene una potencia del factor

Potencias de i:La potencia de i con exponente par es 1 ó –i (real) y la potencia de i con exponente impar es i ó –i (imaginario puro)

Así i=√(-1) debe ser:

Exponente par:i^2=i.i=-1

i^4=i^2.i^2=(-1)(-1)

Exponente impar:i^3=i^2.i=(-1).i=-i

i^5=i^4.i=(1).i=i

Para n par o impar: i^2n=〖(i^2)〗^n=〖(-1)〗^n= ±1 ; 1^(2n+1)=i^2n.i=(±1).i=±i

Forma aritmética: Si la expresión es 〖(a+bi)〗^n siendo n entero y positivo, aplicamos el binomio de Newton se reemplaza las potencias de i. Las potencias de exponente par de i forman la parte real y las potencias de exponente impar la i forman la parte imaginaria.

Ejemplo: 1) 〖(a+bi)〗^2= a^2+ 〖(bi)〗^2+2a (bi)=(a^2-b^2 )+2abi

2) 〖(a+bi)〗^3= a^3+3a〖(bi)〗^2+3a^2 (bi)+〖(bi)〗^3

=(a^3-〖3ab〗^2 )+(〖3a〗^2 b-b^3 )i

Forma Trigonométrica:Sea la expresión p(cos∝+isen∝) elevada a la potencia m:

Exponente entero positivo:

[p(cos∝+isen∝)]^m=p(cos∝+isen∝).p(cos∝+isen∝)…m veces

=p^m (cos⁡〖m ∝+isen m ∝)〗

Exponente fraccionario en (1) si m=h/q resulta:

[p(cos∝+isen∝]^(h/q)=p^(h/q).(〖cos〗^((h∝)/q)+〖isen〗^((h∝)/q))

Exponente negativo en (1) m= -n

[p(cos∝+isen∝)]^(-n)=p^(-n).[cos⁡(-n∝)+isen(-n∝)]

=p^(-n).(cos⁡〖n∝-isen n∝)〗

Pues: cos⁡(-n∝)=cos⁡〖n∝〗

sen(-n∝)=-sen n∝

Ejercicio: Comprobar que también cumple la relación de exponente negativo y racionalización 〖 A〗^(-m)=1/A^m en complejos.

6. Extracción de Raíces:

a) Forma aritmética:En números reales se define la radicación como la operación inversa de la potenciación. Asi:

√(n&A)=B tal que B^n=A o sea 〖(√(n&A))〗^n=B^nes A=B^n

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