El movimiento armónico simple y el péndulo

El movimiento armónico simple y el péndulo

Alumno: López Miranda Erick

Resumen

El péndulo es un buen ejemplo y un buen modelo a seguir para el estudio de un oscilador armónico, sin embargo, este tiene algunas limitantes en cuanto al tamaño del ángulo. Aun con dicho defecto se pudo hacer una buena aproximación de esta para poderlo estudiar. En este apartado analizamos la relación entre L (longitud de la cuerda) y T (periodo de oscilación). Como objetivo secundario determinamos el valor de g (aceleración de gravedad) local.

Introducción.

“El péndulo simple” es uno de tantos sistemas mecánicos que describe un movimiento oscilatorio, como por ejemplo los sistemas que obedecen a la ley de Hooke. Se compone de una masa puntual m sujeta a una cuerda fija de masa despreciable de longitud L, como se muestra en la figura 1.

El movimiento ocurre en un plano vertical, las fuerzas que actúan sobre la masa son la tensión T de la cuerda y la fuerza gravitacional mg. La componente tangencial mgsenθ actúa siempre hacia θ=0 opuesta al desplazamiento, esta última actúa como fuerza restauradora, usando la segunda ley de Newton describimos el movimiento como:

[pic 2]

Donde s es el desplazamiento del arco, el signo menos actúa en dirección de la posición de equilibrio. Puesto de s=Lθ, siendo L constante, la ecuación queda como:

[pic 3]

Factorizando m en la ecuación y reacomodando tenemos:

[pic 4]

Esta ecuación diferencial no es lineal, por tanto el movimiento no es armónico simple, sin embargo para hacerla lineal y que este describa dicho movimiento hacemos una aproximación (para cualquier ángulo menor a 10°): , y a su vez definimos   sustituyendo en la ecuación diferencial anterior obtenemos:[pic 5][pic 6]

1.   [pic 7]

La ecuación 1)  es la ecuación diferencial del péndulo que describe un oscilador armónico simple. El periodo de oscilación del péndulo queda definido como:

1. [pic 8]

Por tanto, el periodo del sistema queda determinado por la longitud de la cuerda y el valor de la aceleración de la gravedad e independiente de la masa del objeto.

Una de las principales aplicaciones de este es para determinar el valor de aceleración de gravedad local.

• Objetivos.

 El principal es modelar el movimiento del péndulo como un movimiento armónico simple y ver cuál es la relación de L vs T, a su vez, como objetivo secundario, determinar la constante g.

[pic 9]

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