El número de Graham

El Numero de Graham

El número de Graham aparece en el libro Guinness de los Récords como el número más grande que aparece en una demostración matemática. Y no solo eso, también aparece como cota superior en un problema de combinatoria más en concreto en la teoría de Ramsey. Se dice que un número es cota superior de una sucesión si es mayor o igual que todos los términos de la sucesión. Los problemas de combinatoria aparecen con frecuencia en las olimpiadas matemática. Son problemas donde se halla la cantidad de objetos que poseen una determinada propiedad; o sea, hay que contar. El caso que me voy del tema, este número no es infinito, pero es mucho más grande de lo que os pensáis.

Este número es enorme, tanto que es muy complicado imaginar su forma de dígitos tanto que no hay una forma de escribir la expresión decimal, los números en base 10 que usamos todos en el mundo físico, en el universo observable. Que no hay manera de describirlo. Incluso si escribiéramos cada dígito ocupando un volumen de Planck que es lo más pequeñito que podemos definir en nuestro universo no nos cabría. Por eso para tratar de explicarlo un poco es necesario conocer la notación Flecha de Knuth.

Todos sabéis que multiplicar 3x3 es como sumar 3+3+3 y que elevar 3 al cubo es como multiplicar 3x3x3, o sea que cada una de estas operaciones inspira a la siguiente. Sumar varias veces es multiplicar y multiplicar varias veces es exponencial. ¿Vale pero que sería exponencial varias veces?, pues eso es la flecha de Knuth. Se indica así 3¡3 y sería elevar 3 asimismo 3 veces y así se puede seguir, si se pones dos flechas 3¡¡3 sería usar una flecha 3 veces o sea 3¡3¡3.

Vamos a ver como de grande son estos números para hacernos una idea de lo potente que es esta sucesión de operaciones. 3x3=9, 3elevado al cubo 27. Pues 3¡3= 3 elevado al cubo y eso elevado al cubo. Primero hacemos el 3 de arriba y luego el de abajo que sería así, 3¡3=3º3º3=3º27=7 625 597 484 987. Claro pero ahora imagínate 3¡¡3 que sería 3 ¡3 ¡3 que ya lo he mencionado antes pero que no lo voy a resolver porque todos damos por hecho que es un número muy grande. Pero que sería este valor: 3 ¡Ans. Vale, pero ahora imaginaros 3¡¡¡3=3¡¡3¡¡3, es decir, un número monstruoso y ese número de flechas habría que desacéralas una a una de derecha a izquierda y cada vez que eliminamos una flecha estamos elevando a tres a un exponente mayor y mayor y mayor. Imaginar un número así es algo que escapa de nuestra imaginación.

Bueno ahora ya tenemos la anotación para poder acometer la descripción del número de Graham. Este número se construye por capas y cada una se construyen base a la anterior. La capa inicial a la que llamaremos g1 es 3¡¡¡¡3, vamos mucho más grande que los dígitos que hemos visto. Pero esto no acaba aquí. ¿Vosotros creéis que podríamos escribir ese valor en algún lado?, ni por asomo vaya.

 La segunda capa es g2 que consiste en aplicar a tres sobre sí mismo la operación dada por g1 flechas. ¿Os hacéis idea? No es que sea aplicar una flecha g1 veces, consiste en aplicar g1 flechas que es muchísimo más grande. Así es como se construyen las capas que nos van a llevar al número de Graham. Y así sucesivamente, como creéis que sería g3 ( 3¡¡ g2 ¡3 ). Vale pues así hasta llegar hasta la capa 64 y ahí obtenemos el número de Graham que es una completa locura. Y básicamente es imposible ponerlo como numero decimal ni como torre de exponentes ni nada.

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