Electromagnetísmo, 3º Física
Salim DavilaApuntes11 de Junio de 2022
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Electromagnetísmo, 3º Física, 23 de septiembre de 2021
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(v.1)
TEMA 0
Herramientas matemáticas
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Nociones básicas
El estudiante debe tener claro nociones básicas como:
Campos/funciones escalares y vectoriales
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Modulo, dirección vector unitario.
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Suma,producto por un escalar, producto escalar, producto vectorial.
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Coordenadas curvilíneas (cartesianas, cilíndricas y esféricas), factores de escala.
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Operadores diferenciales: Gradiente r, divergencia r·, rotacional r×, laplaciano (de un escalar y un vector) r2.
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Concepto de diferencial de longitud dl, superficie dS, volumen dV , en los diferentes sistemas de coordenadas.
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0.1 Flujo y circulación de un campo vectorial
0.1.1 Teorema fundamental del calculo vectorial (Gauss y Stokes)
El Teorema fundamental del calculo vectorial es una generalización de cuatro teoremas conocidos como: Regla de Barrow, teorema de Green, teorema de Stokes y teorema de la divergencia. En términos generales consiste en una relación integral uno de los términos se realiza sobre un objeto
- n dimensional y el otro sobre su frontera ∂Ω n-1 dimensional.
Teorema del gradiente para integrales de linea (Regla de Barrow): Supongamos una función
escalar f de clase C1 en un contorno : [a, b] ∈ R, donde a y b son los extremos de
Z Z Z b
r · ~ −
f dl = df = df = f (a) f (b)
∂ a
1
Electromagnetísmo, 3º Física, 23 de septiembre de 2021
Tema 0 | ||||||||||||
Teorema de Green: | Sea una función vectorial de R | 2 | ~ | ⊂ R | 2 | y de clase | ||||||
F definida en una región Ω | ||||||||||||
C1 en dicha región. El teorema de Green dice que: | ||||||||||||
ZΩ | ∂xy − | ∂yx ! dS = I∂Ω F~ · dl~ | ||||||||||
∂F | ∂F | |||||||||||
|{z} | ||||||||||||
dxdy | ||||||||||||
Teorema de Stokes: | 3 | ~ | 1 | amenos en una | ||||||||
Sea una función vectorial de R | , F definida y de clase C |
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vecindad de una región superficial abierta Ω cuyo contorno ∂ω (el cual es cerrado) . El teorema de Stokes relaciona el flujo del rotacional a través de la superficie de dicho campo con la circulación la circulación de este en la frontera de la superficie.
- I
~ | ~ | ~ | ~ |
Ω r × F | · ds = | ∂Ω F | · dl |
Teorema de la divergencia: Sea un volumen Ω ⊂ R3 con frontera ∂Ω, asumamos una función vectorial definida y de clase C2 en Ω.
- I
r · ~ ~ · ~
F dv = F ds
Ω ∂Ω
0.2 La delta de Dirac
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La delta de Dirac es un concepto matematico que introdujo durante la primera mitad del siglo
- Su formulación rigurosa se encuentra dentro de la denominada teória de distribuciones, entre los autores mas destacados se encuentran: Serguéi Sóbolev, Laurent Schwartz.
Funciones test y distribuciones En análisis matemático una distribución o función generalizada es un objeto que generaliza la noción de función. La teoría de distribuciones esta motivada por el la necesidad de, derivar funciones que no son derivables (por ejemplo funciones que son discontinuas). Para ello, el hay que extender el cálculo a un conjunto de nuevos objetos distribuciones más amplia el conjunto de las funciones usuales. Las funciones se definen como una correspondencia entre elementos de dos conjuntos, dominio y imagen. Si tenemos una función f la aplicación
Z
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f φ
R
nos lleva para cada función φ a un escalar. A estas funciones φ se le denominan fuciones test. Consideremos ahora la deribada de f, si se asume que φ son funciones de soporte compacto (es
nula en parte del espacio salvo en una region),
Z Z
f0φ = − f φ0
R R
para pasar del lado izq. al dch se aplica la integración por partes. Se observa que el segundo miembro de la igualdad tiene sentido aunque no sea posible derivar f.
Definición de la delta de Dirac: La delta de Dirac surge de la necesidad de buscar una función δ que satifaga la siguiente relación:
...