Elementos del movimiento

ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO

Unidad 10

CONTENIDOS.-

1. Introducción.
2. Magnitudes escalares y vectoriales.
3. Sistemas de referencia. Concepto de movimiento.
4. Operaciones con vectores.
5. Trayectoria, posición y desplazamiento.
6. Velocidad media e instantánea (introducción al concepto de derivada).
7. Aceleración media e instantánea.
8. Componentes intrínsecas de la aceleración: tangencial y normal.

MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES

Escalares:

Quedan perfectamente definidas con una cantidad (número) y una unidad.

• Ejemplo: el tiempo ⇒ 3 s; la masa ⇒ 8 kg.

Vectoriales (vectores): Se caracterizan por:

• Módulo: (cantidad y unidad). Se representa por la longitud del vector. Es la parte escalar.
• Dirección: es la recta que contiene el vector.
• Sentido: indicado por la punta de la flecha.
• Punto de aplicación: origen de la flecha.
• Ejemplo: la posición, velocidad, fuerza...

SISTEMA DE REFERENCIA Y MOVIMIENTO[pic 1]

Es un punto del espacio respecto al cual describimos el movimiento.

Un objeto se encuentra en movimiento si cambia su posición respecto al sistema de referencia.

Los sistemas de referencia cuentan a su vez con uno (x), dos (x,y) o tres ejes (x,y,z), perpendiculares entre sí, según trabajemos en una recta, en un plano, o en el espacio.

Representación de un sistema de referencia tridimensional.

Sobre cada eje se toma como unidad de medida los vectores unitarios (módulo igual a 1):

• i sobre el eje x
• j sobre el eje y
• k sobre el eje z

VECTORES

Se representan con una flecha encima de la letra que utilizada para dicha magnitud.

Se suelen expresar en forma cartesiana en donde ax, ay y az son sus componentes cartesianas:

                  →          →         →          → 
                a = ax · i + ay · j + az · k  

A partir de ahora, los vectores los escribiremos en negrita y azul para mayor comodidad:

                  a = ax · i + ay · j + az · k

en donde i, j y k representan los vectores unitarios sobre los ejes x, y, z.

Suma de vectores

Sean dos vectores:         a = ax i + ay j + az k y          b = bx i + by j + bz k

El vector suma vendrá dado por:        
a + b = (ax + bx)·i + (ay + by)·j + (az + bz)·k[pic 2]

Ejemplo:

Sean:  a = 3 i + 2 j   y   b = 2 i – 3 j 

a + b = (3+2) i + (2 –3) j  = 5  i – j 

Cálculo del módulo de un vector.

Sean un vector:         a = ax i + ay j + az k

El módulo de a, que se representa como |a| se calcula aplicando el teorema de Pitágoras:

|a| = (ax2 + ay2 + az2)1/2 

Ejemplo:

En el vector anterior        : c = a + b = 5 i – j 

|a| = (ax2 + ay2 + az2)1/2  = [52 + (–1)2 + 02]1/2   = (26)1/2 = 5,1

VECTOR POSICIÓN (r).

Para un punto P de coordenadas (x,y,z) el vector posición viene dado por:

 r = x · i + y · j + z · k

 Representación de vectores posición

Ecuación del movimiento[pic 3]

La ecuación que proporciona la posición de un objeto con respecto al tiempo se llama “ecuación del movimiento”:

                 r(t) = x(t) · i + y(t) · j +z(t) · k

Ejemplo:

 r(t) = [2t · i + (1–t) · j + (3t2+4) · k] m

En el S.I. la unidad será el m.

Ejercicio:

Sea el movimiento  definido por la siguiente ecuación r = 2t i + 8 j en unidades del S.I. Dibujar los vectores posición en los instantes 0, 2, 4 y 6 segundos.

[pic 4]

Ecuaciones paramétricas.

Son las ecuaciones que relacionan cada componente cartesiana con el tiempo.

        x = f(t); y = g(t); z = h(t)

Son ecuaciones escalares (no vectores).

Ejemplo:

  En el vector:  r(t) = [2t·i + (1–t) ·j + (3t2+4)·k] m, las ecuaciones paramétricas serían:

   x = 2t        ;    y = 1 – t  ;   z = 3t2 + 4

TRAYECTORIA[pic 5]

Es la línea que sigue el movimiento.

Los diferentes puntos de dicha línea se obtienen dando valores a “t” en la ecuación del movimiento (paramétricas).

Ecuaciones de la trayectoria.

Se obtienen despejando el parámetro (tiempo) en una ecuación y sustituyendo el valor en la otra.

Son ecuaciones escalares (no vectores).

Ejemplo:

 r(t) = [2t·i + (1–t) ·j + (3t2+4)·k] m

x = 2t        ; y = 1 – t        ;        z = 3t2 + 4

t = x/2 ⇒ y = 1 – x/2 ;         z = 3x 2/4 + 4

En el caso del espacio bidimensional, únicamente existe una ecuación de la trayectoria:  y = f(x).

Ejercicio:

Determinar las ecuaciones paramétricas y de la trayectoria del siguiente movimiento expresado por la ecuación: r(t) = [(t – 2) i + (2t2 + 4t –3 ) j] m

Ecuaciones paramétricas:         x = t – 2   ;         y = 2t2 + 4t –3 

Despejando “t”de la 1ª ecuación:   t = x + 2,  y sustituyendo en la segunda:

y = 2 (x + 2)2 + 4·(x + 2) –3 = 2 (x 2 + 4x + 4) + 4·(x + 2) –3

y = 2 x 2 + 8x + 8 + 4x + 8 –3

Ecuación de la trayectoria:            y = 2 x 2 + 12x + 13

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