Ensayo Sistemas de varios grados de libertad

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 TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE SALINA CRUZ

ASIGNATURA:

VIBRACIONES MECANICAS

CLAVE:

AED-1067

PROFESOR:

FRANCISCO ANTONIO LUNA SALINAS

“ACTIVIDA 1.- ENSAYO TEMA 5.- SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD”

ALUMNO:

DANIEL SOSA CRUZ

SEMESTRE: VI                                      GRUPO: B2

SALINA CRUZ, OAXACA, A 28 DE MAYO 2017

6.1 INTRODUCCIÓN

Se ha comprobado que muchos sistemas reales se pueden modelar con buena aproximación mediante sistemas de un sólo grado de libertad. Poe otra parte, el análisis de un sistema de varios grados de libertad, requiere la solución de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias, la cual es relativamente simple. Por consiguiente, por sencillez del análisis, a menudo los sistemas continuos se representan como sistemas de varios grados de libertad. Las ecuaciones de movimiento se obtienen por la segunda ley del movimiento de Newton o aplicando los coeficientes de influencia definidos. Hay n frecuencias naturales, cada una asociada con su propia forma de modo, para un sistema de n  grados de libertad. El método de determinar las frecuencias naturales con la ecuación característica obtenida igualando el determinante a cero de aplica a estos sistemas. Sin embargo  a medida que crece la cantidad de grados de libertad, la solución de la ecuación característica se hace más compleja. Presentan una propiedad conocida como ortogonalidad, la cual puede utilizarse para solucionar problemas de vibración forzada no amortiguada con un procedimiento conocido como análisis modal.

6.2 MODELADO DE SISTEMAS CONTINUOS COMO SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD

Se supone que las masas concentradas están conectadas por miembros amortiguadores elásticos sin masa. Se utilizan coordenadas lineales (o angulares) para describir el movimiento de las masas concentradas (o cuerpos rígidos). Tales modelos se conocen como sistemas de parámetro concentrado o de masa concentrada o de masa discreta.

        Algunos problemas indican automáticamente el tipo de modelo de parámetro concentrado que se va a utilizar. Por ejemplo, el edificio de tres pisos que se muestra en la figura 6.1(a) sugiere al instante el uso de un modelo de tres masas concentradas, como se indica en la figura 6.1 (b). En este modelo, se supone que la inercia del sistema está concentrada como tres masas puntuales situadas en los pisos, y las elasticidades de las columnas son reemplazadas por los resortes.

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Otro método popular de representar un sistema continuo como un sistema de varios grados de libertad implica reemplazar la geometría del sistema por una gran cantidad de elementos pequeños. Suponiendo una solución simple dentro de cada elemento, se utilizan los principios de compatibilidad y equilibrio para determinar una solución aproximada para el sistema original.

6.3 USO DE LA SEGUNDA LEY DE NEWTON PARA DERIVAR ECUACIONES DE MOVIMIENTO

Procedimiento para derivar las ecuaciones de movimiento de un sistema de varios grados de libertad aplicando la segunda ley de movimiento de Newton:

1. Establezca coordenadas adecuadas para describir las posiciones de las varias masas puntuales y cuerpos rígidos en el sistema. Suponga direcciones positivas adecuadas para los desplazamientos, velocidades y aceleraciones de las masas y cuerpos rígidos.  
2. Determine la configuración de equilibrio estático del sistema y mida los desplazamientos de las masas y cuerpos rígidos con respecto a sus posiciones de equilibrio estático respectivamente.
3. Trace el diagrama de cuerpo libre de cada masa o cuerpo rígido. Indique las fuerzas de resorte, amortiguamiento y externas que actúan en casa masa o cuerpo rígido cuando se imparte un desplazamiento  y velocidad pitidos a dicha masa o cuerpo rígido
4. Aplique la segunda ley del movimiento de Newton a cada masa o cuerpo rígido que muestra el diagrama de frecuencia de cuerpo como sigue:

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Done  indica la suma de todas las fuerzas que actúan en la masa  y  indica la suma de momentos de todas las fuerzas (con respecto a un eje adecuado) que actúan en el cuerpo rígido del memento de inercia de  masa .[pic 9][pic 10][pic 11][pic 12]

6.4 COEFICIENTES DE INFLUENCIA

Las ecuaciones de movimiento de un sistema de varios grados de libertad también se pueden escribir en función de coeficiente de influencia, los cuales  se utilizan extensamente en ingeniería estructural. Básicamente, se puede asociar un conjunto de coeficientes de influencia con cada una de las matrices implicadas en las ecuaciones de movimiento. Los coeficientes de influencia asociados con las matrices de rigidez y masa, se conocen, respectivamente, como coeficientes de influencia de rigidez e inercia. En algunos casos, es más conveniente reescribir las ecuaciones de movimiento utilizando la inversa de la matriz de rigidez (conocida como matriz de flexibilidad) o la inversa de la matriz de masa. Los coeficientes de influencia correspondientes a la matriz de rigidez inversa se conocen como coeficientes de influencia de flexibilidad y los correspondientes a la matriz de masa inversa se conocen como coeficientes de inercia inversos.

En un resorte lineal simple, la fuerza necesaria para producir un alargamiento unitario se conoce como rigidez del resorte. En sistemas más complejos podemos expresar la relación entre el desplazamiento en un punto y las fuerzas que actúan en varios otros puntos del sistema por medio de coeficientes de influencia de rigidez.

El coeficiente de influencia de rigidez, denotado como , se define como la fuerza en el punto  a consecuencia de un desplazamiento unitario en el punto  cuando todos los puntos aparte del punto  están fijos.[pic 13][pic 14][pic 15][pic 16]

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La ecuación también se puede expresar en forma matricial como

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Donde  y  son los vectores de  desplazamiento y fuerza definidos en la ecuación y  es la matriz de rigidez dada por [pic 19][pic 20][pic 21]

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Son de hacerse notar los siguientes aspectos de los coeficientes de influencia de rigidez:

1. Dado que la fuerza requerida en el punto i para producir una deflexión unitaria en el punto  y una deflexión cero en todos los demás puntos es la misma que la fuerza requerida en el punto  para producir una deflexión unitaria en el punto  y una deflexión cero en todos los demás puntos (teorema de reciprocidad de Maxwell), tenemos kij.[pic 23][pic 24][pic 25][pic 26]
2. Los coeficientes de influencia de rigidez se pueden calcular aplicando los principios de estática y mecánica de sólidos.[pic 27][pic 28]
3. Los coeficientes de influencia de rigidez para sistemas torsionales se pueden definir en función del desplazamiento angular unitario y el par de torsión que produce el desplazamiento angular. Por ejemplo, un sistema torsional de varios rotores,  se puede definir como el par de torsión en el punto  (rotor ) debido a un desplazamiento angular unitario en el punto  y un desplazamiento angular cero en todos los demás puntos.[pic 29][pic 30][pic 31][pic 32]

6.5 EXPRESONES DE ENERGIA POTENCIAL Y CINETICA EN FORMA MATRICIAL

Sea  el desplazamiento de la masa  y   la fuerza aplicada en la dirección de   en la masa  en un sistema de n grados de libertad. La energía potencial elástica (también conocida como energía de deformación) del resorte    está dada por[pic 33][pic 34][pic 35][pic 36][pic 37][pic 38]

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