Ensayo cónicas (matemáticas)

Introducción a las curvas cónicas

Curvas Cónicas

Son curvas planas de segundo grado. También se les llama "secciones cónicas", porque son el resultado de intersectar con un plano un cono de revolución. Las curvas cónicas propiamente dichas son tres: Elipse, Parábola e Hipérbola, aunque alterando
el cono o la posición del plano pueden buscarse otras figuras, entre ellas la circunferencia.

 Elementos principales de las Cónicas:

Focos: Son los puntos de contacto de la sección con las esferas tangentes al plano que la produce e inscritas en el cono.

Diámetros: Rectas que pasan por el centro geométrico. Dos diámetros son conjugados cuando cada uno pasa por la polar del otro.

Ejes: Tiene dos, el mayor (o focal, ya que contiene a los focos) y el menor. Son los únicos diámetros conjugados perpendiculares.

Vértice: Cualquier punto del eje mayor sobre la curva.

Circunferencia focal: Tiene radio igual al eje mayor.

Circunferencia principal: Tiene como diámetro el eje mayor. Es una recta tangente a una elipse se corta en ella con las perpendiculares que se tracen desde los focos.



Historia



Las secciones cónicas (o simplemente cónicas) son las curvas definidas por la intersección de un cono recto con un plano que no pasa por su vértice. Si el ángulo que forma el plano con el eje del cono es mayor que la abertura del cono, la curva generada es una elipse (si el plano es perpendicular al eje, como caso particular, se obtiene una circunferencia); si el ángulo es igual a la abertura, o lo que es lo mismo, el plano es paralelo a la generatriz, se genera una parábola; y si el ángulo es mayor, una hipérbola. Pero si consideramos el cono como figura geométrica, sólo se obtiene una de las dos ramas de la hipérbola. Para conseguir las dos, como dice el lector, hay que unir dos conos por su vértice; o, como dicen los matemáticos, hay que usar un cono de dos hojas.

El descubridor de las secciones cónicas fue Menecmo (380-320 a.C.), un discípulo de Platón y maestro de Aristóteles y de Alejandro Magno. Menecmo descubrió las cónicas casi por casualidad, buscando una solución al famoso (e irresoluble) problema de la duplicación del cubo (dado un cubo, hallar, usando sólo regla y compás, el lado de un cubo de volumen doble). Definió sus cónicas como la intersección de un cono y un plano perpendicular a su generatriz, por lo que si el vértice del cono era un ángulo agudo sólo obtenía elipses; si era un ángulo recto, parábolas; y si era obtuso, hipérbolas. Encontró un camino hacia la solución del problema de la duplicación del cubo usando la intersección de dos curvas cónicas: o bien una hipérbola y una parábola o bien dos parábolas.

Después de Menecmo, también Euclides y Conón de Samos estudiaron las propiedades de las cónicas. (El término cono no deriva del nombre de Conón de Samos, sino del griego konos, que significa piña; las coníferas no se llaman así porque los abetos tengan una forma más o menos cónica, sino porque dan piñas.) Pero fue el geómetra Apolonio de Perga (c.262-c.190 a.C.) el que descubrió que se podían obtener los tres tipos de cónicas variando la inclinación del plano en un mismo cono, y el primero que encontró las dos ramas de la hipérbola utilizando el cono de dos hojas. La obra de Apolonio Sobre las cónicas constaba de ocho libros, de los que se conservan siete: los cuatro primeros en griego, comentados por Eutocio de Ascalón (siglo VI), y los tres siguientes traducidos al árabe por el astrónomo persa Tabit ben Curra (siglo IX); el libro octavo se ha perdido.

Elementos principales de las cónicas

Focos: El 'foco' es un punto dado. En las elipses, se tienen dos focos, y una constante, y la elipse esta definida por todos los puntos tales que la suma de las distancias a cada uno de esos focos es igual a la constante dada.

Diámetros: Es el segmento de recta que pasa por el centro y une dos puntos opuestos de una circunferencia, una superficie esférica o una curva cerrada.

Ejes: un eje es una línea recta con respecto a la cual una figura geométrica puede rotar; dicha recta se llama eje de rotación. Un eje de simetría es una recta respecto a la cual una figura es simétrica.

Vértices: es el punto donde los dos segmentos de línea se unen.

Circunferencia focal: es el lugar geométrico de los puntos del plano simétricos de un foco respecto a todas las posibles rectas tangentes a la elipse.

Circunferencia principal: Lugar geométrico de las proyecciones ortogonales de un foco sobre las tangentes a una elipse o hipérbola; se trata de la circunferencia de radio a=semi eje focal, y de centro el centro de la cónica. En el caso parabólico degenera en la recta tangente por el vértice.



Aplicaciones

Las cónicas tienen diversas aplicaciones en la vida real. A continuación se presentan ejemplos (algunos

de ellos se profundizarán cuando se analicen de forma particular en los capítulos subsecuentes):

1. En las antenas receptoras que tienen la forma de paraboloide de revolución. Las señales que se emiten de un satélite llegan a la superficie de la antena y se reflejan hacia el punto donde esta localizado el receptor (de ahí el nombre de antenas parabólicas).

2. Algunas piezas mecánicas que presentan formas pentagonales, hexagonales u octagonales están delimitados a través de una circunferencia o tienen en su base circunferencias concéntricas.

3. La órbita que sigue un objeto dentro de un campo gravitacional constante es una parábola. Así, la

línea que describe cualquier móvil que es lanzado con una cierta velocidad inicial, que no sea vertical, es una parábola.

4. La primera ley de Kepler sobre el movimiento de los planetas dice que éstos siguen órbitas elípticas, en uno de cuyos focos se encuentra el Sol. Es muy posible que Newton no hubiese podido descubrir su famosa ley de la gravitación universal de no haber

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