Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades
Enviado por charlycalzadasro • 11 de Febrero de 2020 • Prácticas o problemas • 2.107 Palabras (9 Páginas) • 1.453 Visitas
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"Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades".
Investigación Documental.
- Materia: Álgebra Lineal.
- Alumnos:
- Álvarez Martin Trinidad Antonio 18TE0328
- Calzadas Rosalino Charly 18TE0212
- Cano Martínez Bárbara 18TE0640
- De La Cruz Mauricio Yonatan 18TE0281
- Grado: 2do. Semestre.
- Grupo: “A”.
- Carrera: Ingeniería Mecatrónica.
- Fecha: 23/05/2019
Docente: Claudio Juárez Néstor.
“Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades ".
Resumen.
Los alumnos del segundo semestre de mecatrónica pertenecientes al Instituto “Tecnológico Superior de Teziutlán” han realizado una investigación documental en materia de “Álgebra Lineal” para tener todo el panorama sobre la materia misma, pues al pertenecer a un grado de ingeniería no solo basta con saber desarrollar los ejercicios, sino que es de completa importancia conocer las bases teóricas bajo cada conocimiento para tener un mejor panorama intelectual y así poder comprender: el por qué; cómo, y para qué de su existencia, aplicación y funcionamiento impulsando así al alumno a ser autodidacta sobre lo aprendido.
Introducción.
En el conocimiento esencial de un matemático, físico, ingeniero y demás científicos, debe existir el análisis matemático, que nace desde el álgebra lineal. Gracias a su aplicación en cualquier área, ha sido de gran ayuda para entender la realidad de fenómenos tanto, tangibles como teóricos.
El planteamiento fundamental por el que nace el álgebra lineal, es el cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales con “n” incógnitas. En el álgebra lineal, se manejan varios temas en los cuales encontramos: matrices, vectores y ecuaciones lineales. Por lo tanto su estudio se enfoca en los espacios vectoriales y las transformaciones lineales. Estos conceptos han contribuido notablemente en el desarrollo del conocimiento dentro de las matemáticas y también en otras ciencias, especialmente en las ciencias básicas, la economía, la informática, la ingeniería y las ciencias sociales. Por eso se justifica el estudio del álgebra lineal en la mayoría de las carreras universitarias.
El álgebra lineal tiene una representación concreta en la geometría analítica, y tiene aplicaciones en el campo de las ciencias naturales y en las ciencias sociales; así como también ayuda al desarrollo de ciertas capacidades fundamentales para un ingeniero: capacidad de formalizar, de razonar rigurosamente, de representar adecuadamente algunos conceptos. Las aplicaciones del Algebra Lineal en la ciencia, la ingeniería y en la vida cotidiana son numerosas ya que la solución de muchos problemas en la física, ingeniería, química, biomédica, graficas computarizada, procesamiento de imágenes requieren de herramientas o métodos dados por el Algebra Lineal. La importancia de la matemática en el desarrollo científico y tecnológico de la humanidad, está determinado por la posibilidad de elaborar modelos matemáticos de objetos reales ya sea de la ciencia o de la técnica. Con las técnicas clásicas de solución de sistemas de ecuaciones lineales, que se pueden hacer a lápiz y papel y con el avance de la tecnología, el Algebra Lineal también se puede explotar desde lo numérico lo que hace necesario trabajar con cierta parte de la matemática clásica y con el uso de herramientas computacionales para operar los objetos o elementos del Algebra Lineal.
Antecedentes.
Para poder comprender el desarrollo de la investigación misma es preciso tener conocimiento en los siguientes puntos:
- ¿Qué es un vector?
Cantidad o fenómeno que tiene dos propiedades independientes: magnitud y dirección. El término también denota la representación matemática o geométrica de tal cantidad. Ejemplos de vectores en la naturaleza son la velocidad, la fuerza, los campos electromagnéticos y el peso. Una cantidad o fenómeno que sólo muestra magnitud, sin dirección específica, se llama escalar. (Véase Fig. 1)
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Fig. 1. “Definición de un vector” (Vitutor, 2016)
- ¿Qué es “Espacio”?
Extensión del universo donde conviven todos los objetos sensibles que lo componen, el lugar particular único y especial que ocuparán cada uno de estos en él, la distancia que existe entre dos personas o cosas dispuestas en un lugar específico de un ambiente, la distancia que recorre un objeto en un determinado tiempo.
- ¿Qué es un espacio vectorial?
Conjunto de objetos, denominados vectores, junto con dos operaciones binarias llamadas suma y multiplicación por un escalar y que satisfacen los diez axiomas. (Véase Fig. 2)
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Fig. 2. “Espacio vectorial”. (GÓMEZ, 2017)
Desarrollo.
Recapitulando, un vector es todo segmento de recta que está dirigido en el espacio. Los vectores se definen con los puntos que ocupan su origen y extremo en los ejes de coordenadas; el concepto de vector hace referencia a la idea de desplazamiento en el espacio desde un espacio inicial a un espacio final.
Por lo tanto, un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío V de objetos, llamados vectores, en el que se han definido dos operaciones: la suma y el producto por un escalar.
Las propiedades de un espacio vectorial son:
Sean [pic 6], [pic 7], [pic 8] vectores en V:[pic 9]
- La suma es otro vector en V.
- [pic 10], es decir, la suma es conmutativa.
- , es decir, la suma es asociativa.[pic 11]
- Existe un vector cero en V, tal que: [pic 12].
- Para todo vector [pic 13] existe un vector[pic 14], tal que, y se denomina el inverso aditivo.[pic 15]
Con esto ya establecido podemos decir que: el producto interno es una operación algebraica que toma dos secuencias o series de números de igual forma de vectores.
El producto interno de dos vectores en un espacio vectorial es una forma bilineal, por lo que se puede considerar una forma cuadrática definida positiva, geométricamente es el producto de dos magnitudes euclidianas de los dos vectores y el coseno del ángulo entre ellos.
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