Espacio Vectorial

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL“SIMÓN RODRÍGUEZ”

NÚCLEO SAN CARLOS

Facilitador:

German Noda

Participantes:

Jhonatan Sequera C.I 19.542.395

Gabriel Parada C.I 19.888.095

Edgar Linares C.I 19.542.225

San Carlos, Mayo 2012.

Índice.

Pág.

Introducción……………………………...…………………………………………….....3

Componentes de un Vector…………..……………………………………………………4

Vector Posición…………………..………………………………………………………..5

Vector Libre……...………………………………………………………………………...6

Adición de Vectores…….……………………………………………………………….....7

Propiedades de un Vector...……………………………………………………………......10

Multiplicación de un Vector por un Escalar…………………………………………...…..10

Espacio Vectorial…………………………..……………………………………..………. 11

Combinación Lineal de Vectores……………………………………………………...…...14

Vectores Linealmente Dependientes……………………………………………………….15

Vectores Linealmente Independientes……………………………………………………..16

Conclusión……...……………………………………………………………………….....18

Referencias Bibliográficas……………..……………………………………...………….19

Ejercicios.

Introducción.

En general, el álgebra trata de números, matrices, vectores, aplicaciones y de operaciones entre los elementos de dichos conjuntos.

Las matemáticas según una concepción primitiva, son la ciencia del número y de la cantidad. El punto de vista clásico distinguía las distintas ramas de las matemáticas según la naturaleza de los objetos que estudiaban: la aritmética es la ciencia de los números; la geometría estudiaba los objetos en el espacio; el análisis estudiaba las funciones, etc. Sin embargo, cada vez con mayor frecuencia, técnicas y resultados de una parte de las matemáticas se mostraban útiles en otra rama.

Un conjunto es una colección de entidades; los números forman un conjunto que pertenece a una categoría bien definida el cuerpo de los números reales y en el reino animal un caballo es un elemento del conjunto de animales mamíferos. Ahora bien, un conjunto de ladrillos no constituye una casa; es necesario dotar a estos conjuntos de una estructura definida mediante diferentes reglas o axiomas; así obtenemos las estructuras de grupo, cuerpo, espacio vectorial. Estas categorías se encuentran en todas las ramas de la matemática, en la física y en otras ciencias.

No son decisivos los objetos con los que se opera sino las relaciones entre ellos. Así surgen las primeras estructuras algebraicas (grupos, anillos, cuerpos, etc.), que permiten agrupar a conjuntos de elementos de naturaleza muy distinta, pero que tienen relaciones y propiedades comunes.

Aquí vemos la estructura de espacio vectorial que es la propia de los vectores y es aplicable a las matrices, a los polinomios y a las funciones y que permite identificar matrices como vectores y resolver múltiples problemas geométricos. Constituye una base sólida para el desarrollo de los temas de geometría. Tanto es así que se describe el álgebra como la geometría que se escribe y a la geometría como el álgebra que se dibuja.

Componentes de un Vector.

Un Vector es una herramienta matemática que facilita el estudio de algún fenómeno físico.

Un vector en el espacio se puede expresar como una combinación lineal de tres vectores unitarios o vectores perpendiculares entre sí que constituyen una base vectorial.

En coordenadas cartesianas, los vectores unitarios se representan por , , , paralelos a los ejes de coordenadas x, y, z positivos. Las componentes del vector en una base vectorial predeterminada pueden escribirse entre paréntesis y separadas con comas:

O expresarse como una combinación de los vectores unitarios definidos en la base vectorial. Así, en un sistema de coordenadas cartesiano, será

Estas representaciones son equivalentes entre sí, y los valores ax, ay, az, son las componentes de un vector que, salvo que se indique lo contrario, son números reales.

Una representación conveniente de las magnitudes vectoriales es mediante un vector columna o un vector fila, particularmente cuando están implicadas operaciones matrices (tales como el cambio de base), del modo siguiente:

Con esta notación, los vectores cartesianos quedan expresados en la forma:

Vector de Posición.

El vector que une el origen de coordenadas O con un punto P se llama vector de posición del punto P.

Coordenadas o componentes de un vector en el plano

Si las coordenadas de A y B son:

Las coordenadas o componentes del vector son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.

Ejemplos

Hallar las componentes de un vector cuyos extremos son:

Un vector tiene de componentes (5, −2). Hallar las coordenadas de A si se conoce el extremo B(12, −3).

Vector Libre.

Es todo vector del plano que tiene mismas características: mismos módulo, dirección y sentido.

Un vector libre es, pues, el conjunto de los vectores del plano que tienen mismo módulo, misma dirección y mismo sentido. Se llama vector libre a cada una de las clases de segmentos orientados equipolentes. Por tanto, cada vector libre está definido por un módulo, una dirección, y un sentido. Un vector libre queda caracterizado por su módulo, dirección y sentido. El vector libre es independiente del lugar en el que se encuentra.

Dos vectores fijos son equipolentes si tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido.

Atendiendo a sus componentes se puede comprobar que dos vectores fijos son equipolentes si y sólo si tienen las mismas componentes.

La relación de equipolencia proporciona una clasificación de los vectores fijos en subconjuntos disjuntos, cada uno de los cuales da lugar a un vector libre.

Así, se define vector libre como el conjunto formado por todos los vectores fijos equipolentes a uno dado. Se denota generalmente con una letra minúscula.

Las componentes de un vector libre son las de cualquier vector fijo que lo representa. Esta definición es consistente ya que todos los vectores fijos equipolentes tienen las mismas componentes.

Adición de Vectores.

La suma de los vectores podemos realizarla de dos maneras diferentes, analítica y gráficamente.

Procedimiento Gráfico

Para sumar dos vectores de manera gráfica utilizaremos la denominada Regla del paralelogramo, consistente en trasladar paralelamente los vectores hasta unirlos por el origen, y luego trazar un paralelogramo, del que obtendremos el resultado de la suma, como consecuencia de dibujar la diagonal de ese paralelogramo, como podemos ver en el siguiente dibujo:

Otra manera de expresar la suma de manera gráfica es trasladar el segundo vector a sumar de tal manera que el origen de éste, coincida con el extremo del primer vector, y la suma la obtendremos dibujando un vector que vaya desde el origen del primer vector hasta el extremo del segundo, de la siguiente manera:

Hay que tener muy presente lo siguiente: vectores en la misma dirección se suman (tal y como ya hemos visto en la sección de la suma de vectores), pero vectores con sentidos opuestos se restan (tal y como se puede ver en el apartado correspondiente a la resta de vectores). A continuación tenemos un ejemplo de suma y resta de vectores.

Método Algebraico para la Suma de vectores

Dados tres vectores

La expresión correspondiente al vector suma es:

O bien

Siendo, por tanto,

La suma de vectores goza de las siguientes propiedades:

Conmutativa

a + b = b + a

Asociativa

(a + b) + c = a + (b + c)

Elemento neutro o vector 0

a + 0 = 0 + a = a

Elemento simétrico u opuesto a'

a + a' = a' + a = 0

a' = -a

Suma con la Regla del Paralelogramo.

Regla del paralelogramo Se toman como representantes dos vectores con el origen en común, se trazan rectas paralelas a los vectores obteniéndose un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los vectores.

Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.

Propiedades

...