Espacio Vectorial

Espacio vectorial

En matemáticas, un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y un cuerpo matemático), con 8 propiedades fundamentales.

A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.

Producto escalar

En matemática, el producto escalar, también conocido como producto interno, interior o punto (en inglés, dot product), es una operación definida sobre dos vectores de un espacio euclídeo cuyo resultado es un número o escalar. Esta operación permite explotar los conceptos de la geometría euclidiana tradicional: longitudes, ángulos, ortogonalidad en dos y tres dimensiones. El producto escalar puede definirse también en los espacios euclídeos de dimensión mayor a tres, y en general en los espacios vectoriales reales y complejos. Los espacios vectoriales dotados de producto escalar reciben el nombre de espacios prehilbertianos.

• Vectores perpendiculares u Ortogonales. Definición y ejercicios.

Dos vectores son ortogonales si su producto escalar es cero.

Si además de ortogonales los vectores son unitarios se llaman ortonormales.

A veces nos piden construir una base ortonormal a partir de otra base que no es ortonormal. Esto se puede hacer por el método de Gram-Schmidt.

Sea B = {b1,b2,b3} una base que no es ortonormal. Los vectores:

c1 = b1

c2 = b2 - c1.b2/c1.c1(c1)

c3 = b3 - c1.b3/c1.c1(c1) - c2.b3/c2.c2(c2)

Los productos que hay en la fracción son productos escalares.

Ejemplo: Sea la base (1,1,1), (0,2,-1) y (1,0,2). Haciendo las operaciones indicadas nos queda:

El vector (1,1,1) se transforma en (1,1,1).

El vector (0,2,-1) se transforma en (0,2,-1) - 1/3 (1,1,1) = (-1/3, 5/3, -4/3).

El vector (1,0,2) se transforma en (1,0,2) - 3/3 (1,1,1) + 3/7 (-1/3, 5/3, -4/3) = (-1/7, -2/7, 3/7).

• Vector Unitario. Ejemplo y Grafico.

Como su nombre indica un vector unitario es un vector que tiene de módulo 1.

A veces nos dan un vector y nos piden que calculemos su vector unitario (si lo queréis decir de forma elegante:normalizar un vector). Lo unico que tenemos que hacer es calcular el módulo del vector (sea m) y dividir el vector por m.

Por ejemplo si el vector es ai + bj, el módulo sera la raiz cuadrada de a2 + b2 .

i = 1, 2, 3...

el producto vectorial es una operación binaria entre dos vectores de un espacio euclídeo tridimensional que da como resultado un vectorortogonal a los dos vectores originales. Con frecuencia se lo denomina también producto cruz (pues se lo denota mediante el símbolo ×) o producto externo(pues está relacionado con el producto exterior).

Propiedades del producto vectorial

 Como todo producto, el producto vectorial es bilineal, es decir distributivo sobre la adición (de vectores) y más generalmente sobre la combinación lineal, a la izquierda y la derecha:

(Con la adición)

(Con el producto por un escalar) vector denotado

(Con una combinación lineal, del otro lado)

 No es conmutativo como el producto de los números usuales (enteros, reales, complejos) sino todo lo contrario: es antisimétrico: , propiedad similar a la del determinante. En particular , del mismo modo que un determinante con dos columnas iguales vale cero.

 Es asociativo (como el producto de matrices y sus determinantes).

 El producto vectorial aparece en los cuaterniones: El producto de dos cuaterniones imaginarios (es decir de parte real nula) tiene como componente imaginario el producto vectorial (y

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