FUNCIÓN DE AIRY

Función de Airy

La función de Airy Ai(x) es una función especial, llamada así por el astrónomo británico George Biddell Airy. La función Ai(x) y la función relacionada Bi(x), también llamada a veces función de Airy, son soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial ordinaria:

Esta ecuación diferencial recibe el nombre de ecuación de Airy o ecuación de Stokes. Es la ecuación diferencial lineal de segundo orden más simple que posee un punto donde la solución pasa de tener un comportamiento oscilatorio a un (de)crecimiento exponencial.

Además la función de Airy es una solución a la ecuación de Schrödinger para una partícula confinada dentro de un pozo potencial triangular y también la solución para el movimiento unidimensional de una partícula cuántica afectada por una fuerza constante.

Definiciones

La gráfica de Ai(x) de color rojo y Bi(x) de azul.

Para valores reales de x, la función Airy está definida por la integral

la cual converge porque las partes positiva y negativa de las osicilaciones se cancelan una a otra (como puede verificarse por integración por partes).

Al derivar dentro del signo de integración encontramos que esta función satisface la ecuación diferencial

Esta ecuación tiene dos soluciones linealmente independientes. La elección estándar para la otra solución es la función de Airy del segundo tipo, llamada B(x). Se define como la solución que tiene la misma amplitud de oscilación que Ai(x) a medida que x va a −∞ y tiene un desfasamiento de π/2:

Propiedades

Los valores de Ai(x) y Bi(x) y sus derivadas en el origen (x = 0) vienen dadas por:

donde Γ denota la función gamma. Lo anterior implica que el wronskiano de Ai(x) y Bi(x) es 1/π.

Si x es positiva, Ai(x) es positiva, convexa, y decrece exponencialmente a cero, y Bi(x) es positiva, convexa, y crece exponencialmente. Cuando x es negativa, Ai(x) y B(x) oscilan al rededor de cero con frecuencia creciente, y amplitud decreciente. Esto está de acuerdo con las fórmulas asintóticas de abajo.

Aplicaciones

La ecuación de Schrödinger para una partícula que se mueve en una sola dimensión y que está sujeta a un potencial lineal (como el producido por un campo eléctrico uniforme sobre un electrón) es

Donde es la fuerza que se ejerce sobre la partícula. Hagamos el cambio de variable:

Entonces por la regla de la cadena:

Como es lineal:

Sustituyendo en la ecuación de Schrödinger:

Multiplicando por

Que es la ecuación de Airy. Entonces la solución general de la ecuación de Schrödinger queda en términos de funciones Airy:

Fórmulas asintóticas

El comportamiento asintótico de las funciones Airy a medida que x tiende a +∞ está dado por

También existen expansiones asintóticas para estos límites, enlistadas en (Abramowitz y Stegun, 1954) y (Olver, 1974).

Argumentos complejos

Podemos extender la definición de las funciones Airy al plano complejo con

Donde la integral se hace sobre una trayectoria empezando por el punto en el infinito con argumento -(1/3)π y teminando en el punto en el infinito con argumento (1/3)π. De forma alternativa podemos usar la ecuación para extender Ai(x) y Bi(x) a las funciones enteras en el plano complejo.

Gráficas

...