Formulario De Precalculo

Formulario de Prec ́alculo. 1. Los Nu ́meros.

1. Clasificacio ́n de los nu ́meros. Los nu ́meros se clasifican como:

a) Naturales: N = {1,2,3,...∞}

b) Enteros:

Z = {−∞...,−2,−1,0,1,2...∞} = {0,±1,±2,±3,...±∞}

Z+= {0,1,2,3,...∞}

c) Racionales:Q={a :a,b∈Zyb̸=0}

b

Propiedades de los racionales:

• Sea a ̸= 0, entonces, a−1 = 1 es el Inverso a

Multiplicativo o Rec ́ıproco de a: aa−1 = a−1a = 1

Al multiplicar a con su rec ́ıproco a−1 obtenemos la identidad multiplicativa.

3) Ley Distributiva:

a(b+c)=ab+ac y (a+b)c=ac+bc

b) Los nu ́meros reales tienen un orden.

Comenzamos con cinco relaciones de orden definidas sobre los reales.

1) La relacio ́n < menor que.

2) La relacio ́n > mayor que.

3) La relaci ́on ≤ menor o igual que. 4) La relacio ́n ≥ mayor o igual que. 5) La relaci ́on = de igualdad.

Decimos que:

1) a<byb>asignificanlomismo,esdecir,b−a es un nu ́mero positivo y distinto de cero.

2) a≤byb≥asignificanlomismo,esdecir,b−a es un nu ́mero positivo o es cero.

• LEY DE TRICOTOM ́IA: Si a y b son nu ́meros reales, entonces:a<b o a=b o a>b

• Para las cinco relaciones de orden se cumplen las siguientes propiedades:

1) Transitiva: Sean a, b, c ∈ R, entonces: Sia<b y b<c ⇒ a<c. Sia>b y b>c ⇒ a>c. Sia≤b y b≤c ⇒ a≤c. Sia≥b y b≥c ⇒ a≥c. Sia=b y b=c ⇒ a=c.

2) Aditiva: Sean a, b, c ∈ R, entonces: Sia<b ⇒ a+c<b+c. Sia>b ⇒ a+c>b+c. Sia≤b ⇒ a+c≤b+c. Sia≥b ⇒ a+c≥b+c. Sia=b ⇒ a+c=b+c.

3) Multiplicativa:

⋆ Para la Igualdad. Para cualquier c ∈ R: Sia=b ⇒ ac=bc.

⋆ Para las Desigualdades. Caso 1. Sea c > 0, entonces: Sia<b ⇒ ac<bc. Sia>b ⇒ ac>bc. Sia≤b ⇒ ac≤bc. Sia≥b ⇒ ac≥bc.

Caso 2. Sea c < 0, entonces:

Sia<b ⇒ ac>bc. Sia>b ⇒ ac<bc. Sia≤b ⇒ ac≥bc. Sia≥b ⇒ ac≤bc.

1) Si a se escribe en forma decimal, entonces, su b5

parte decimal es finita. 10 = 0.5

2) Si a se escribe en forma decimal, entonces, su

b 10

parte decimal es perio ́dica. 3 = 3.3

d) Irracionales: I = {x : x es un nu ́mero con parte decimal infinita y no perio ́dica }

e) Reales: Se representan con R y es cualquiera de nu ́meros anteriores. Se cumple: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R, I⊂R y Q∩I=∅.R=Q∪I.

2. Propiedades de los nu ́meros reales.

a) Los reales son un Campo. Porque se cumplen las

propiedades:

1) Bajo la suma:

• La suma es conmutativa:

a+b=b+a • La suma es asociativa:

a + (b + c) = (a + b) + c

• La Identidad Aditiva o Neutro Aditivo

R

Q

Z

N

I

es el cero:

• −a es el Inverso Aditivo de a:

a+0=0+a=a

a + (−a) = −a + a = 0

Al sumar a con su inverso aditivo −a se obtiene el neutro aditivo.

2) Bajo la Multiplicacio ́n:

• La multiplicacio ́n es conmutativa:

ab = ba

• La multiplicacio ́n es asociativa:

a(bc) = (ab)c

• La Identidad Multiplicativa es el 1: a1 = 1a = a

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