Funciones Matematicas

Función matemática

No debe confundirse con Función (informática).

En la imagen se muestra una función entre un conjunto de polígonos y un conjunto de números. A cada polígono le corresponde su número de lados.

Una función vista como una «caja negra», que transforma los valores u objetos de «entrada» en los valores u objetos de «salida»

En matemáticas, se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la primera depende exclusivamente del valor de la segunda. Por ejemplo el área A de un círculo es función de su radio r: el valor del área es proporcional al cuadrado del radio, A = π•r2. Del mismo modo, la duración T de un viaje de tren entre dos ciudades separadas por una distancia d de 150 km depende de la velocidad v a la que este se desplace: la duración es inversamente proporcional a la velocidad, d / v. A la primera magnitud (el área, la duración) se la denomina variable dependiente, y la cantidad de la que depende (el radio, la velocidad) es la variable independiente.

En análisis matemático, el concepto general de función, aplicación o mapeo se refiere en a una regla que asigna a cada elemento de un primer conjunto un único elemento de un segundo conjunto (correspondencia matemática). Por ejemplo, cada número entero posee un único cuadrado, que resulta ser un número natural (incluyendo el cero):

...  −2 → +4,  −1 → +1,  ±0 → ±0,   

  +1 → +1,  +2 → +4,  +3 → +9,  ... 

Esta asignación constituye una función entre el conjunto de los números enteros Z y el conjunto de los números naturales N. Aunque las funciones que manipulan números son las más conocidas, no son el único ejemplo: puede imaginarse una función que a cada palabra del español le asigne su letra inicial:

..., Estación → E, Museo → M, Arroyo → A, Rosa → R, Avión → A, ...

Esta es una función entre el conjunto de las palabras del español y el conjunto de las letras del alfabeto español.

La manera habitual de denotar una función f es:

f: A → B

 a → f(a),

donde A es el dominio de la función f, su primer conjunto o conjunto de partida; e B es el codominio de f, su segundo conjunto o conjunto de llegada. Por f(a) se denota la regla o algoritmo para obtener la imagen de un cierto objeto arbitrario a del dominio A, es decir, el (único) objeto de B que le corresponde. En ocasiones esta expresión es suficiente para especificar la función por completo, infiriendo el dominio y codominio por el contexto. En el ejemplo anterior, las funciones «cuadrado» e «inicial», llámeseles f y g, se denotarían entonces como:

f: Z → N

 k → k2, o sencillamente f(k) = k2;

g: V → A

 p → Inicial de p;

si se conviene V = {Palabras del español} y A = {Alfabeto español}.

Una función puede representarse de diversas formas: mediante el citado algoritmo o ecuaciones para obtener la imagen de cada elemento, mediante una tabla de valores que empareje cada valor de la variable independiente con su imagen —como las mostradas arriba—, o como una gráfica que dé una imagen de la función.

Dominio de definición

Ilustración que muestra f, una función de dominio X a codominio Y. El óvalo pequeño dentro de Y es la imagen de f, a veces llamado rango de f.

En matemáticas, el dominio (conjunto de definición o conjunto de partida) de una función es el conjunto de existencia de ella misma, es decir, los valores para los cuales la función está definida. Es el conjunto de todos los objetos que puede transformar, se denota o bien . En se denomina dominio a un conjunto conexo, abierto y cuyo interior no sea vacío.

Por otra parte, el conjunto de todos los resultados posibles de una función dada se denomina imagen de esa función.

El dominio de definición de una función f:X→Y se define como el conjunto X de todos los elementos x para los cuales la función f asocia algún y perteneciente al conjunto Y de llegada, llamado codominio. Esto, escrito de manera formal:

Concepto de función:

Una función es una relación que existe entre los elementos de dos conjuntos, es decir, cuando dos variables están relacionadas, se establece que el valor de una de ellas queda determinado si se le asigna un valor a la otra.

Dominio y contradominio de una función.

• Dominio de la función: Es el conjunto de todos los valores admitibles que puede tomar la variable independiente “x”.

• Contradominio de una función: Son el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente “y”. También es conocido como codominio, recorrido o rango.

Ejemplo:

Dada la función f = (4, 12),(6, -7),(-1, 4),(2, 3),(-3, 6):

• Dominio: Df = 4, 6,-1, 2,- 3 (son los primeros elementos de los pares ordenados).

• Contradominio: Cf = 12, -7, 4, 3, 6 (son los segundos elementos de los pares ordenados).

Gráfica de una función

En un sistema de coordenadas cartesianas se han representado las curvas de algunas raíces, así como de sus potencias, en el intervalo [0,1]. La diagonal, de ecuación y = x, es eje de simetría entre cada curva y la curva de su inversa.

En matemáticas, la gráfica de una función:

es la representación gráfica de la correspondencia entre los elementos del conjunto dominio y los del conjunto imagen. Es el conjunto formado por todos los pares ordenados (x, f(x)) de la función f; es decir, como un subconjunto del producto cartesiano X×Y.

Las únicas funciones que se pueden trazar de forma completa son las de una sola variable, con un sistema de coordenadas cartesianas, donde cada abscisa representa un valor de la variable del dominio y cada ordenada representa el valor correspondiente del conjunto imagen. Si la función es continua, entonces la gráfica formará una línea recta o curva.

En el caso de funciones de dos variables es posible visualizarlas de forma unívoca mediante una proyección geométrica, pero a partir de tres variables tan solo es posible visualizar cortes (con un plano) de la función para los que los valores de todas las variables, excepto dos, permanezcan constantes.

El concepto de gráfica de una función se generaliza a la gráfica de una relación. Notar que si bien cada función tiene una única representación gráfica, pueden existir varias funciones que tengan la misma, pero con dominios y codominios diferentes.

grafica

Para representar gráficamente una función:

1.º Se identifica la variable independiente y la variable dependiente.

2.º Se hace una tabla de valores.

3.º Se dividen los ejes de coordenadas en partes iguales que sean acordes con los resultados de la tabla.

4.º Se representan los pares de valores y se obtiene un conjunto de puntos aislados.

5.º Si tiene sentido se unen los puntos, obteniéndose una línea que constituye la gráfica de la función.

Toma de notas

La toma de notas es una técnica de estudio que consiste en resumir una información para trabajos escritos o exposiciones. De esta manera se recolectan con rapidez y en forma coherente sólo aspectos relevantes sobre la exposición de un tema.

etapas de la toma de notas de forma rápida y concisa~ tomas de notas El primer paso es escuchar atentamente y tratar de resumir la información lo mejor que se pueda, sin copiar apuntes sin sentido. Se debe tratar de recolectar aspectos importantes en poco tiempo, omitiendo los verbos que no aportan información y redactando en una oración o párrafo la o las ideas captadas, destacando los puntos más importantes.

Para agilizar la escritura se pueden utilizar signos convencionales como: "P"(por, para); "q'"(qué, quién); y abreviaturas como "Lit", "fis", "Hits", "Mat", "t", "x", "c/u".

Es necesario redactar el esquema con palabras propias y dejar las citas textuales para copiar las definiciones. Se deben copiar los esquemas o bosquejos que utilice el expositor en el orden que corresponda, así como ejemplos, cuadros sinópticos, esquemas y todo aquel dibujo o diagrama que el expositor utilice en su conferencia.

Lo importante es captar el mensaje o contenido de la exposición y no su apariencia. Se debe resaltar aquellos aspectos en los que el orador hace énfasis con adjetivos como: "importante", "fíjense bien", "tengan presente", etc.

Una vez acabada la conferencia o clase es necesario revisar la información y corregir los errores que pudiesen haberse cometido. Se puede subrayar aquellos párrafos que considere de interés.

El planteamiento del problema de la investigación

Los elementos para plantear un problema son tres y están relacionados entre si y son las preguntas de la investigación, los objetivos y la justificación del estudio (1). Comenzaremos refiriéndonos al planteamiento del problema y la delimitación, y luego veremos el tema de los objetivos y la justificación del estudio.

El planteamiento del problema de la investigación es la delimitación clara y precisa del objeto de la investigación que se realiza por medio de preguntas, lecturas, encuestas

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