Funciones - Analisis matematico

[pic 1]

[pic 2]Analisis Matematico

Funciones:

• Definición de una función:

Una función F es una regla que asigna a cada elemento de x de un conjunto A exactamente un elemento, llamado F(x), de un conjunto B. 𝑹𝒂𝒏𝒈𝒐 𝒅𝒆 𝒇 = 𝒇 𝒙 𝒙 𝝐 𝑨 }[pic 3]

• [pic 4]Función uno a uno:

Una función con dominio A se denomina función uno a un si no hay dos elementos de A que tengan la misma imagen, esto es,

𝒇(𝒙₁ ) ≠ 𝒇(𝒙₂ ) siempre que x1 ≠ x2

• La prueba de la recta vertical:

Una curva en el plano de coordenadas es la gráfica de una función si y solo si ninguna recta vertical cruza la curva más de una vez.

• Prueba de la recta Horizontal:

Una función es uno a uno si y solo si no hay una recta horizontal que cruce su grafica más de una vez.

• Dominio de una Función:

[pic 5]El dominio de una función es el dominio de la expresión algebraica, es decir, el conjunto de todos los números reales para los cuales la expresión está definida como un número real.

Ejemplo:

[pic 6]

Dominio:

𝟐𝒙−𝟒 = 𝟎

𝒙 = 𝟐

Entonces:   Dom: { x | x ≠ 2 }

• Gráfica de una Función:

Si F es una función con un dominio A, Entonces la gráfica de f es el conjunto de pares ordenados:

        𝒙 , 𝒇 𝒙        𝒙 𝝐 𝑨}[pic 7][pic 8]

[pic 9]Localizados en un plano de coordenadas. En otras palabras, la gráfica de f es el conjunto de todos los puntos (x ; y) tales que y = f(x).

• Funciones Crecientes y decrecientes:

F es creciente en un intervalo I si 𝒇(𝒙₁ ) < 𝒇(𝒙₂ ) siempre que x1 < x2 en I.

F es decreciente en un intervalo I si 𝒇(𝒙₁ ) > 𝒇(𝒙₂ ) siempre que x1 > x2 en I.

[pic 10]

• Valores Máximos y Mínimos de una función:

[pic 11]El valor de una función f(a) es un VALOR MAXIMO LOCAL de f si 𝒇 𝒂        ≥ 𝒇(𝒙) Cuando x es cercana a a.[pic 12]

El valor de una función f(a) es un VALOR MINIMO LOCAL de f si

        𝒇 𝒂        ≤ 𝒇(𝒙) Cuando x es cercana a a.[pic 13]

[pic 14]

DEFINICION DE LA INVERSA DE UNA FUNCION  

Sea [pic 15] una funcion uno a uno con dominio A y rango B. entonces su funcion inversa f 1tiene dominio B y rango A y está definido por:

f 1 (y)  x          f (x)  y 

Para cualquier y en B.

[pic 16] 

Propiedad de la función inversa

Sea f una función uno a uno con dominio A y rango B. la función inversa f 1 satisface las siguientes propiedades de cancelación:

f 1( f (x))  x   para toda x en A f ( f 1(x))  x    para toda x en B

Recíprocamente, cualquier función  f 1que satisfaga estas ecuaciones es la inversa de f .

COMO ENCONTRAR LA INVERSA DE UNA FUNCION

1. [pic 17]Escriba y  f (x) .
2. Despeje x de esta ecuación en términos de y (si es posible).
3. Intercambie x e y. la ecuación resultante es y  f 1(x). 

[pic 18]

Función Lineal:

• Una función lineal es un polinomio de grado 1.
• Donde su forma general esta dada por:

[pic 19]𝒚=𝒎𝑿+𝒃

Donde:

m: Pendiente de la recta, es decir la inclinación de la misma respecto al eje “X” b: Ordenada al origen; es el punto donde la función corta al eje “Y”.

X: Variable independiente.

Y: Variable dependiente.

[pic 20]Función Lineal:

        Ejemplo 1: y = [pic 21]        Ejemplo 1: y =− 𝑥 − 1

Función Cuadrática:

FUNCIONES CUADRATICAS  

Una función cuadrática es una función polinomial de grado 2. Entonces, una función cuadrática es una función de la forma

        f (x)  ax2 bxc,        a  0 

[pic 22]FORMA NORMAL DE UNA FUNCION CUADRATICA

Una función cuadrática f (x)  ax2 bxcpuede expresarse en la forma normal

f (x)  a(x h)2  k Completando el cuadrado. La grafica de f es una parábola con

vértice (h,k): la parábola abre hacia arriba si a0 o hacia abajo si a0 

VALOR MAXIMO O MINIMO DE UNA FUNCION CUADRATICA

Sea f una función cuadrática con forma estándar f (x)  a(x h)2  k. el valor máximo o mínimo de f ocurre en xh. 

[pic 23]

Función Polinómica:

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