Continuidad análisis matemático 2

Continuidad

Condiciones que debe cumplir una función de 2 variables independientes para ser continua en un punto de acumulación de su dominio son:

• Existir imagen
• Existir limite doble finito en el punto (un valor)
• LD = imagen

Continuidad en un conjunto: Una función es continua en un conjunto “A” si lo es en todos los puntos pertenecientes al mismo.

Discontinuidad

Si una función no cumple con alguna de estas condiciones, se dice que es discontinua en el punto.

1. Discontinuidad evitable: Si existe el límite doble de la función en el punto.

en esta instancia es posible redefinir la imagen para que coincida con el límite.

La función se puede transformar en continua redefiniéndola, considerando como imagen del punto el valor del límite, también se interpreta como “rellenar el agujerito”.

• Existe el L finito
• La imagen puede existir o no

Geométricamente: la función tiene un agujero en el punto.

1. Discontinuidad esencial: la función no tiene límite doble en el punto.

• No existe L finito
• La imagen puede existir o no

Geométricamente: la función asociada a un salto, finito o infinito.

Resolución de ejercicios:

Paso 1. Plantear las condiciones.

1. Existir imagen

Ésta se evalúa en el origen (0;0):

• Alternativa 1) Puede dar un valor 🡪 existe imagen
• Alternativa 2) Puede devolver una indeterminación 🡪 no existe imagen. NO ES CONTINUA (EN EL ORIGEN), sin embargo, para saber si es discontinua evitable o esencial debemos calcular LD.  Si es evitable se puede redefinir.

1. Existir LD

Se calcula el LD en el origen (x;y) 🡪 (0;0) lo que por lo general devuelve una indeterminación.

• Alternativa 1) se puede salvar mediante modificaciones matemáticas. Por lo tanto, existe el límite doble 🡪 la función será discontinua evitable. 

• Alternativa 2) no se puede salvar 🡪 transitar los infinitos caminos. En esta instancia ya se conoce que el límite No Existe, o “de existir valdrá cero” … pero no podemos afirmarlo. Por lo tanto, la función corresponde a discontinua esencial.

1. LD = Img

Si existe LD y existe la imagen, y ambos son iguales simultáneamente, entonces la función es CONTINUA.

Función partida

¿Qué es?

¿Características?

¿Para qué sirve la “definición” que se observa del lado derecho de cada rama?

Una función partida presenta 2 ramas, una superior (rama 1) y otra inferior (rama 2), las cuales serán definidas con “condiciones” que se manifiestan del lado derecho de cada rama.

Paso 1. Plantear las condiciones.

1. Existir imagen

Ésta se evalúa la rama inferior en el origen

• Alternativa 1) Puede dar un valor 🡪 existe imagen
• Alternativa 2) Puede devolver una indeterminación 🡪 no existe imagen. NO ES CONTINUA (EN EL ORIGEN), sin embargo, para saber si es discontinua evitable o esencial debemos calcular LD.

1. Existir LD

Se calcula el LD en el origen de la rama superior (x;y) 🡪 (0;0) que por lo general devuelve una indeterminación.

Nota: Prestar atención a la estructura de la función partida, porque hay casos en los que debemos analizar sobre qué ramas debemos calcular el límite doble en el origen. Para ello hacemos un gráfico de las condiciones de las ramas. ¿Cuándo se aplica esta condición?

...