Grafica De La Circunferencia Dados Tres Puntos

Actividad 9: Grafica de la circunferencia dados tres puntos. Realice una investigación en internet y entregue en forma impresa lo siguiente:

a) Obtenga la ecuación general de la circunferencia, a partir de tres puntos dados, mediante la construcción y solución de tres ecuaciones simultáneas con tres variables de primer grado.

b) Obtenga la ecuación ordinaria simplificando la ecuación general de la circunferencia.

c) Obtenga el centro, radio y grafique la circunferencia en hoja milimétrica

d) Grafique la ecuación de la circunferencia por medio de software matemático e imprima la grafica

a) Obtenga la ecuación general de la circunferencia, a partir de tres puntos dados, mediante la construcción y solución de tres ecuaciones simultáneas con tres variables de primer grado.

Para obtener la ecuación general que pasa por tres puntos se debe empezar por acomodar los pares ‘’x’’ y los pares ‘’y’’ de la circunferencia que se busca. Por ejemplo:

M(4, -1) N(2,3) Q(-1, -6)

M(4(x), -1(y)) N(2(x), 3(y)) Q(-1(x), -6(y))

Después se sigue este modelo:

x²+y²+Cx+Dy+E=0 (que es la ecuación general)

El siguiente paso es reemplazar cada valor para obtener tres ecuaciones:

M(4, -1)

x²+y²+Cx+Dy+E=0

(4)²+(-1)²+C(4)+D(-1)+E=0

Enseguida se resuelve:

16+1+4C-D+E=0

4C-D+E=-17

Asi se obtuvo la primera ecuación. Ahora haces lo mismo con los dos puntos restantes.

N(2,3)

(2)²+(3)²+C(2)+D(3)+E=0

4+9+2C+3D+E=0

2C+3D+E=-13

Q(-1,-6)

(-1)²+(-6)²+C(-1)+D(-6)+E=0

1+36-1C-6D+E=0

-1C-6D+E=-37

Ahora al ver las tres ecuaciones se ven así y se resuelve por el método de eliminación:

4C-D+E=-17

2C+3D+E=-13

-1C-6D+E=-37

4C-D+E=-17

*(-1) -2C-3D-E=-13

2C-4D=-4 (/2) = C-2D=-2

Ahora se tienen 4 ecuaciones:

4C-D+E=-17

2C+3D+E=-13

-1C-6D+E=-37

C-2D=-2

Después se toma otro par de ecuaciones, tomemos la primera y la tercera. A la tercera ecuación se le multiplica por -1, al igual que en el caso anterior, esto se hace para eliminar a la ‘’E’’

4C-D+E=-17

1C+6D-E=-37

5C+5D=20

Esta ecuación se puede simplificar dividiéndola entre 5.

C+D=4

Ahora se tienen 5 ecuaciones:

4C-D+E=-17

2C+3D+E=-13

-1C-6D+E=-37

C-2D=-2

C+D=4

Después se toman las ecuaciones 4 y 5 y la 5 se multiplica por dos para poder eliminar la D.

C-2D=-2

2C+2D=8

3C=6

C=6/3

C=2

Sabiendo que C=2 se puede obtener el valor de D, por ejemplo tomemos la ecuación 5.

C+D=4

2+D=4

D=4-2

D=2

Conociendo los valores de C y D podemos encontrar el valor de ‘’E’’

4(2)-2+E=-17

8-2+E=-17

6+E=-17

E=-17-6

E=-23

x²+y²+Cx+Dy+E=0

x²+y²+2x+2D-23=0

b) Obtenga la ecuación ordinaria simplificando la ecuación general de la circunferencia.

Esta se simplifica muy fácilmente, solo se debe de ordenar la ecuación.

Por ejemplo:

x²+y²-6x+4y-12=0

Entonces quedaría así:

(x²-6x)+(y²+4y)=12

El siguiente paso es sacar la mitad del término de ‘’x’’ y del termino de ‘’y’’

x²-6x/3+y²+4y/2=12

Lo que dividiste a la mitad se eleva al cuadrado

x²-6x 9+y²+4y 4=12

Estos términos que elevaste al cuadrado los sumas al otro lado

x²-6x 9+y²+4y 4=12+9+4

El siguiente paso es factorizar y así se obtiene la ecuación ordinaria.

(x-3)²+(y+2)²=25

c) Obtenga el centro, radio y grafique la circunferencia en hoja milimétrica.

Para obtenerlo usaremos la ecuación ordinaria del ejemplo anterior.

(x-3)²+(y+2)²=25

(x-(h))²+(y-(k))²=r²

-h=-3 -k=2 r²=25

Ahora se multiplican por -1 los valores –h y –k. Para el radio se saca la raíz cuadrada.

h=3 k=-2 r=5

C(3,-2) r=5

d) Grafique la ecuación de la circunferencia por medio de software matemático e imprima la grafica

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