INTEGRAL TRIPLE

INTRODUCCIÓN

En el presente proyecto se recopilaron las técnicas empleadas en la solución de problemas matemáticos, con un grado de dificultad perteneciente a la matemática intermedia 2, los cuales son aplicados a la realidad y cotidianidad.

Se utilizó un software llamado wólfram Mathematica como apoyo en lo que se refiere a la elaboración de varios ejercicios que representan el volumen de un sólido encerrado por distintas superficies, para las cuales se plantearon y resolvieron las integrales en diferentes coordenadas (cartesianas, cilíndricas, esféricas, etc.) así como también en función de las variables y constantes literales y numéricas. Se obtuvieron las gráficas con los datos y cálculos para cada volumen.

El uso del software para el cálculo matemático es una herramienta muy necesaria para la ingeniería dado que hace más eficiente el trabajo.

OBJETIVOS

GENERAL

Utilizar de manera adecuada los software especializados para resoluciones matemáticas aplicando métodos y modelos teóricos.

ESPECIFICOS

• Obtener las ecuaciones de las superficies que limitan un sólido.

• Plantear las integrales en distintos tipos de coordenadas de las superficies para determinar la más sencilla y hallar el volumen un sólido.

• Realizar graficas de los volúmenes.

DESCRIPCIÓN TEÓRICA DE LOS MÉTODOS

Recuerde que si f(x) ≥ 0, entonces la integral simple representa el área bajo la curva y=f(x) de a a b, y si f(x, y) ≥ 0, entonces la integral doble representa el volumen bajo la superficie z= f(x, y) y arriba de D. La interpretación correspondiente de una integral triple, donde f(x, y, z) ≥ 0, no es muy útil porque será el “hipervolumen” de un objeto tetradimensional y, por supuesto, es muy difícil representar. (Recuerde que E es sólo el dominio de la función f, la gráfica de f se localiza en el espacio tetradimensional). No obstante, la integral triple se puede interpretar de varias maneras en diferentes situaciones físicas, lo que depende de las interpretaciones físicas de x, y, z y f(x, y, z). Se comenzará con el caso especial donde f(x, y, z) = 1 para todos los puntos en E.

En la geometría plana el sistema de coordenadas polares es utilizado para dar una conveniente descripción de ciertas curvas y regiones.

En tres dimensiones hay un sistema de coordenadas llamado coordenadas cilíndricas, que es similar al de las coordenadas polares y da una conveniente descripción de algunas superficies y sólidos comunes. Como veremos, algunas integrales triples son mucho más fáciles de evaluar en coordenadas cilíndricas.

Las coordenadas cilíndricas son útiles en problemas que involucran simetría respecto a un eje, y el eje z se elige de manera que coincida con el eje de simetría.

Otro útil uso de los sistemas de coordenadas en tres dimensiones está en el sistema de coordenadas esféricas. Éste simplifica la evaluación de la triple integral sobre regiones acotadas por esferas o conos.

Las coordenadas esféricas (r, u, f) de un punto P en el espacio se ilustran en la figura, donde ρ=|OP| es la distancia del origen a P, u es el mismo ángulo en coordenadas cilíndricas, y f es el ángulo entre el eje z positivo y el segmento de recta OP. Nótese que

El sistema de coordenadas esféricas es especialmente útil en problemas donde hay simetría respecto a un punto, y el origen se coloca en este punto.

CONCLUSIONES

• Al tener límites de un sólido en coordenadas rectangulares se pueden obtener sus límites en coordenadas cilíndricas y esféricas.

• El volumen de un sólido se puede calcular de diversas maneras aplicando integrales, dado que según la forma del sólido es más sencillo utilizar el método designado

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