Definición Integral triple

Ak. La suma Sn aproxima entonces a lo que llamamos volumen total del sólido. Definido este volumen como

Coordenadas Polares

En un espacio R2, un dominio de integración que tenga una simetría circular es muchas veces suceptible de ser transformado de coordenadas rectangulares a polares, lo que significa que cada punto P (x, y) del dominio de una integral doble tomará su valor correspondiente en coordenadas polares mediante la siguiente transformación:

Por ejemplo:

Si aplica la identidad trigonométrica pitagórica de senos y cosenos.

El determinante jacobiano de la transformación es:

Definición Integral triple

Es la aplicación sucesiva de tres procesos de integración definida simple a una función de tres variables f (x, y, z); tomando en consideración en función de que variable se encuentran los límites para saber cual diferencial (dx, dy, dz) se utilizará primero y cual después y cual al final.

Ejemplo.

Integrales Triples en Coordenadas Cilíndricas y Esféricas

Coordenadas cilíndricas.

Las coordenadas cilíndricas son apropiadas para describir cilindros cuyos ejes coinciden con el eje x y planos que contienen el eje z o bien son perpendiculares a el.

r = 4 Cilindro, radio 4, eje el eje z

Plano que contiene al eje z

z= 2 Plano perpendicular al eje z

El elemento de volumen para subdividir una región en el espacio con coordenadas cilíndricas es

Las integrales triples en coordenadas cilíndricas son entonces evaluadas como integrales iteradas, como el siguiente ejemplo.

EJEMPLO.

Solución

Paso 1: La base de D también es la proyección de la región R sobre el plano xy. La frontera de R es el

círculo

Su ecuación en coordenadas polares es

Paso 2: Los límites z de integración. Una recta M, que pasa por un punto típico (r,

) en R, paralela al eje z, entra a D en z=0 y sale en

Leer más: http://www.monografias.com/trabajos83/integrales-multiples/integrales-multiples.shtml#ixzz3LbVTnyTyPaso 3: Los límites r de integración. Un rayo L que pasa por (r, ) desde el origen, entra a R en r =0 y sale en

Paso 4: Los límites de integración. Al barrer L a través de R, el ángulo que forma con el eje x positivo varía de La integral es

Coordenadas esféricas.

Las coordenadas esféricas son apropiadas para describir con centro en el origen, medios planos articulados a lo largo de eje z y conos simples, cuyos vértices se encuentran en el origen, y con ejes a lo largo del eje z.

Las superficies como ésas tienen ecuaciones de valor coordenado constante:

EJEMPLO.

El volumen es

Leer más: http://www.monografias.com/trabajos83/integrales-multiples/integrales-multiples2.shtml#ixzz3LbViJ2NgEl presente trabajo titulado Integrales Múltiples y sus Aplicaciones tiene la finalidad de ayudar tanto al estudiantado como al personal docente de la asignatura Funciones Vectoriales de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Carabobo, en el proceso de enseñanza-aprendizaje del tópico mencionado, ya que presentan en forma teórica y práctica los puntos del tema 6 de la asignatura Funciones Vectoriales, el cual se enfoca en las integrales múltiples, cuyas aplicaciones tienen gran importancia en las diferentes áreas de la Ingeniería.

En esta página podrás encontrar información sobre:

 Integrales Dobles.

 Integrales Triples.

 Aplicaciones de las Integrales Múltiples.

 Cambio de Variables en las Integrales Múltiples.

 Ejercicios propuestos

•

•

• MOISES VILLENA

• Integración Múltiple

•

• 151

• La

• ij ésima

• −

• partición tendrá forma rectangular. Ahora cabereferirse al área de esta partición, que estaría dada por:

• ij i j

• A x y

• Δ = Δ Δ

•

• Podemos definir una función de dos variables

• ( )

• ,

• z f x y

• =

• en laregión

• R

• , que para la

• ij ésima

• −

• partición sería:

• ( )

• ,

• ii j j

• f x y x y

• Δ Δ

• Bien, veamos ahora su significado geométrico. Observe la gráficasiguiente:El punto

• ( )

• ,

• i j

• x y

• , representa cualquier punto del

• ij ésimo

• −

• rectángulo. El volumen del

• ij ésimo

• −

• paralelepípedo, denotémoslo como

• ij

• V

• Δ

• , estaría dado por:

• ( )

• ,

• iij i j j

• V f x y x y

• Δ = Δ Δ

• .Por tanto, si deseamos el volumen bajo la superficie, tendríamos quehacer una suma de volúmenes de una cantidad infinita de paralelepídedos,es decir:

• x y z

• ( )

• ,

• z f x y

• =

• i

• x

• Δ

• j

• y

• Δ

• ( )

• ,

• iij

• z f x y

• =

• •

• ( )

• ,

• i j

• x y

• ab

• c

• d

Indice

Pág

Introducción ..................................................................................3

Área de una región entre dos curvas .............................................4-6

Volumen: Método de discos ..........................................................7-9

Volumen: Método de capas ........................................................10-11

Trabajo, fuerza constante y fuerza variable ..............................12-14

Presión de un fluido y fuerza de un fluido ...............................15-16

Momentos , centroides y centro de masa .................................17-23

Longitud de arco y superficies de revolución .........................24-28

Conclusión ..............................................................................29

Bibliografía ............................................................................30

Introducción

Las derivadas y las integrales tienen diferentes campos de aplicación, pero en este caso en particular, nos referiremos a los beneficios que se obtienen mediante el uso de las integrales, lo cual fue tema de la clase de Cálculo II.

Para llevar a cabo estas aplicaciones, nos valimos del uso de dos herramientas elementales:

• Las integrales definidas y

• El Teorema Fundamental del Cálculo Integral

Al tener el conocimiento necesario sobre estos dos puntos se podrá llevar a cabo cualquiera de las aplicaciones aquí mencionadas, sumado claro, con las reglas individuales de cada caso en mención.

APLICACIONES DE

LA INTEGRAL

I Parte Área de una región entre dos curvas

Con pocas modificaciones podemos extender la aplicación de las integrales definidas para el cálculo de una región situada por debajo de una curva, al área comprendida de un región entre dos curvas. Si, como en la figura 1.1, las gráficas de ambas, f y g, se localizan por encima del eje x, podemos interpretar geométricamente el área de la región entre las gráficas como el área de la región situada debajo de la gráfica f menos el área de la región situada debajo de la gráfica de g, como muestra la figura 7.1.

Si bien en la figura 7.1 muestra las gráficas de f y g sobre el eje x, esto no es necesario y se puede usar el mismo integrando [f(x) - g(x)]siempre y cuando f y g sean continuas y g(x) " f(x) en el intervalo [a, b]. Se resume el resultado en el teorema siguiente.

Demostración: Partimos en el intervalo [a, b] en subintervalos, cada uno de

anchura x y dibujamos un rectángulo representativo de anchura x y altura f(xi) - g(xi), de donde x está en el i-ésimo intervalo, tal como lo muestra la figura 1.3. El área de este rectángulo representativo es

Ai = (altura)(anchura) = [f(xi) - g(xi)] x

Sumando las áreas de los n rectángulo s y tomando el límite cuando

|||| ! 0 (n ! "), tenemos

n

lim " [f(xi) - g(xi)] x

n ! " i=1

Por ser f y g continuas en el intervalo [a, b], f-g también es continua en dicho intervalo y el límite existe. Por tanto, el área A de la región dada es

n

A = lim " [f(xi) - g(xi)] x =

[f(x) - g(x)] dx

n ! " i=1

Se usan los rectángulos representativos en diferentes aplicaciones de la integral. Un rectángulo vertical (de anchura x) implica integración respecto a x, mientras un rectángulo horizontal (de anchura y) implica integración con respecto a y.

Ejemplo 1.1

Hallar e área de la región limitada por las gráficas de y =x2 +2, y = -x, x =0 y x = 1.

Solución: Hacemos g(x) =-x y f(x) =x2+2, entonces g(x) " f(x) para todo x en [0, 1], como muestra la figura. Por tanto, el área del rectángulo representativo es

A = [f(x) - g(x)] x

= [(x2+ 2) - (-x)] x

A =

[f(x) - g(x)] dx

= [(x2 + 2) - (-x)]dx

= [x3/3 + x2/2 + 2x]10

= 1/3 + ½ + 2 =

Las gráficas

...