Ingeniero

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Cálculo diferencial

Unidad 4. Aplicación de la derivada

4.1. Extremos en un intervalo

Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

Máximos y mínimos de una función

Concavidad y puntos de inflexión

Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas

Introducción

Ahora que conocemos las reglas de derivación nos encontramos en mejor posición para continuar con las

aplicaciones de la derivada.

Veremos cómo afectan las derivadas la forma de la gráfica de una función y en particular cómo nos ayudan a

localizar valores máximos y mínimos de las funciones.

Expliquemos con exactitud qué queremos decir con valores máximos y mínimos.

Definición

Una función f tiene un máximo absoluto (o máximo global) en c si f(c) ≥ f(x) para toda x en D donde D es el

dominio de f. El número f(c) se llama valor máximo de f en D.

De manera análoga, f tiene un mínimo absoluto en c si f(c) ≤ f(x) para toda x en D; el número f(c) se denomina

valor mínimo de f en D.

Los valores máximo y mínimo de f se conocen como valores extremos de f.

En la figura se muestra una función f con máximo absoluto en d y mínimo absoluto en a.

Si sólo consideramos valores de x cercanos a b, entonces f(b) es el más grande de esos valores de f(x) y se

conoce como máximo local de f.

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Unidad 4. Aplicación de la derivada

4.1. Extremos en un intervalo

Definición

Una función f posee un máximo local (o máximo relativo) en c si f(c) ≥ f(x) cuando x está cercano a c. [Esto

significa que f(c) ≥ f(x) para toda x en algún intervalo abierto que contiene a c.]

De manera análoga, f tiene un mínimo local en c si f(c) ≤ f(x) cuando x está cerca de c.

En la figura anterior, ¿dónde se presentan extremos locales?

Ejemplo

Determine los extremos locales y globales de la gráfica de f(x)=x3.

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y = x3

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4.1. Extremos en un intervalo

Ejemplo

Determine los extremos locales y globales de la gráfica de f(x)=3x4-16x3+18x2 en el intervalo –1 ≤ x ≤4.

Teorema del valor extremo

Si f es continua sobre un intervalo cerrado [a; b], entonces f alcanza un valor máximo absoluto f(c) y un valor

mínimo absoluto f(d) en algunos números c y d de [a; b].

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4.1. Extremos en un intervalo

Teorema de Fermat

Si f tiene un máximo o un mínimo local en c y si f ´(c) existe, entonces f ´(c) = 0.

Pero...

¿qué pasa con

y = x3?

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4.1. Extremos en un intervalo

Definición

Un número crítico de una función f es un número c en el dominio de f tal que f ´(c)= 0 o f ´(c) no existe.

Ejemplo

Encuentre los números críticos de f(x) = x3/5 (4 - x).

Si f tiene un extremo local en c, entonces c es un número crítico de f.

Método del intervalo cerrado para hallar los valores máximo y mínimo absolutos de una función continua f

sobre un intervalo cerrado [a; b]:

1. Encuentre los valores de f en los números críticos de f en (a; b).

2. Halle los valores de f en los puntos extremos del intervalo.

3. El más grande de los valores de los pasos 1 y 2 es el valor máximo absoluto; el más pequeño es el valor

mínimo absoluto.

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4.1. Extremos en un intervalo

Ejemplo

Encuentre los valores máximo y mínimo absolutos de la función f(x) = x3 - 3x2 + 1, para

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